Wenn von einer Parabel 3 Punkte gegebenen sind, dann lässt sie sich in der Normalform am einfachsten aufstellen.
Man setzt jeden Punkt in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ ein und erhält drei lineare Gleichungen.
Löst man dieses Gleichungssystem, so erhält man Werte für die Parameter $a$, $b$ und $c$.
Beispiel: Gesucht ist die Parabel durch $P_1(1\mid 6)$, $P_2(2\mid 11)$ und $P_3(3\mid 18)$.
Lösung: Punkte in $f(x)=ax^2+bx+c$ einsetzen:
$\newcommand{\ra}{\Rightarrow}
\begin{array}{lll}
P_1 \ra &1a+1b+1c & = 6 \\
P_2 \ra &4a+2b+1c & = 11 \\
P_3 \ra &9a+3b+1c & = 18 \\
\end{array}$
Gleichungssystem lösen:
$\begin{array}{rll}
{\rm I} & 1a+1b+1c & = 6 \\
{\rm II} & 4a+2b+1c & = 11 \\
{\rm III}& 9a+3b+1c & = 18 \\
\end{array}$
die neue zweite Gleichung ergibt sich aus $4\cdot {\rm I}-{\rm II}$
die neue dritte Gleichung ergibt sich aus $9\cdot {\rm I}-{\rm III}$
$\begin{array}{rrl}
{\rm I}\phantom{'} & 1a+1b+1c & = 6 \\
{\rm II}' & 2b+3c & = 13 \\
{\rm III}'& 6b+8c & = 36 \\
\end{array}$
die neue dritte Gleichung ergibt sich aus $3\cdot {\rm II}'-{\rm III}'$
$\begin{array}{rrl}
{\rm I}\phantom{''} & 1a+1b+1c & = 6 \\
{\rm II}'\phantom{'} & 2b+3c & = 13 \\
{\rm III}''& c & = 3 \\
\end{array}$
Jetzt haben wir einen Wert für $c$ in ${\rm III}''$, nämlich: $c=3$.
Diesen setzen wir in ${\rm II}'$ ein: $2b+3\cdot 3 = 13$ und erhalten für $b=2$.
Jetzt setzen wir $c=3$ und $b=2$ in ${\rm I}$ ein: $1a+1\cdot 2+1\cdot 3 = 6$ und erhalten $a=1$.
Die Parabel durch $P_1(1\mid 6)$, $P_2(2\mid 11)$ und $P_3(3\mid 18)$ ist somit
$f(x)=x^2+2x+3$.
Probe: $P_1, P_2$ und $P_3$ in $f(x)$ einsetzen:
$f(1)= 1^2+2\cdot 1+ 3 = 6$ (korrekt)
$f(2)= 2^2+2\cdot 2+ 3 = 11$ (korrekt)
$f(3)= 3^2+2\cdot 3+ 3 = 18$ (korrekt)
alle drei Punkte liegen auf der Parabel von $f(x)$.