Limes-Schreibweise

Der Differential-Quotient ist der Grenzwert des Differenzen-Quotient. Wir haben also einen Term (den Differenzen-Quotient) und schauen uns an, welchen Wert dieser Term annimmt, wenn eine Variable gegen einen gewissen Wert geht (entweder $x_2\rightarrow x_1$ oder $h\rightarrow 0$).

Allgemein gesprochen haben wir einen Term und lassen eine Variable gegen einen Wert laufen.
Wenn der Term einen vernünftigen Wert hat ($\in\mathbb{R}$) dann ist dieser Wert der Grenzwert.
Ist der Wert des Terms nicht definiert oder $\pm\infty$ dann existiert dieser Grenzwert nicht.

Um dies nicht immer mit großen Worten beschreiben zu müssen, gibt es eine mathematische Notation:

$\lim\limits_{x\rightarrow w} t$

Hier steht $\lim$ für Limes (lat. für Grenze). Unter dem Limes steht, welche Variable (hier $x$) wir gegen welchen Wert laufen lassen (hier $w$).
Hinter dem Limes steht der Term ($t$).

Rechenregeln

Mit Grenzwerten kann man ganz "normal" rechnen, wenn die Grenzwerte existieren:

Ergibt der Limes für den Grenzwert einen Wert, so kann man einfach einsetzen.
$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(a\cdot g(x)\right) = a\cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0}g(x)$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(f(x)+g(x)\right) = \lim\limits_{x\rightarrow 0} f(x)+ \lim\limits_{x\rightarrow 0}g(x)$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(f(x)\cdot g(x)\right) = \lim\limits_{x\rightarrow 0} f(x)\cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0}g(x)$
usw.

Beispiele

Der Grenzwert von $f(x)=6x-3$ für $x\rightarrow 1$:
$\lim\limits_{x\rightarrow 1}f(x)= \lim\limits_{x\rightarrow 1}6x-3= \lim\limits_{x\rightarrow 1}6x-3= 6\cdot 1-3 = 3$
Hier kann man die Grenze einfach einsetzen.
Der Grenzwert für $x\rightarrow -1$ von $\frac{x^2-1}{x+1}$
Hier kann man für $x$ nicht einfach -1 einsetzen, da der Nenner sonst 0 ergibt.
Aber wenn man $x$ ganz nah an -1 bringt (z.B. -0,9999 oder -1,00001) dann ergibt der Bruch ungefähr -2 (probiert es mit dem Taschenrechner aus).
Somit scheint der Grenzwert 2 zu sein.

Lösung: $\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{x^2-1}{x+1}= \lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}= \lim\limits_{x\rightarrow -1} x-1= -1-1 = -2$
Der Grenzwert von $\frac1x$ für $x\rightarrow 0$ existiert nicht, da der Term gegen $+\infty$ geht, wenn $x$ von rechts gegen 0 geht (z.B. 0,000001).
Geht $x$ von links gegen 0 (z.B. -0,000001), dann geht $\frac1x$ gegen $-\infty$.
Somit gibt es keine "normale" Zahl als Grenzwert - der Grenzwert existiert also nicht.
$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty} e^x=0$ zwar ist $e^x$ immer größer 0, aber je weiter man nach rechts geht, desto kleiner wird der Abstand zwischen 0 und $e^x$.
Geht man unendlich weit nach rechts, ist der Abstand unendlich klein...