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Von 2D zu 3D

Punkte und Vektoren

Im dreidimensionalen Raum haben Punkte drei Komponenten: $P(x\mid y\mid z)$.
In der Mathematik verwendet man statt $x, y, z$ oft $x_1, x_2, x_3$, also $P(x_1\mid x_2\mid x_3)$.

Vektoren im dreidimensionalen haben logischerweise auch drei Komponenten: $\vd{\Delta x_1}{\Delta x_2}{\Delta x_3}$

Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors in 3D wird auch über den Satz des Pythagoras berechnet:

$\left| \vd{x_1}{x_2}{x_3} \right| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$

Rechnen mit Vektoren

Addition: $ \vdi aaa + \vdi bbb = \vd{a_1+b_1}{a_2+b_2}{a_3+b_3} $

Subtraktion: $ \vdi aaa - \vdi bbb = \vd{a_1-b_1}{a_2-b_2}{a_3-b_3} $

Strecken:$r\cdot \vdi xxx = \vd{r\cdot x_1}{r\cdot x_2}{r\cdot x_3}$

Normierte Vektoren

Ein Vektor ist normiert, wenn er die Länge 1 hat.
Will man zu einem Vektor $\vec v$ einen normierten Vektor $\vec v_n$ der in dieselbe Richtung zeigt, so berechnet man ihn mit: $\frac{1}{|\vec v|}\cdot \vec v$.
Hierbei ist $\frac{1}{|\vec v|}$ eine reelle Zahl mit der der Vektor $\vec v$ gestreckt wird um die Länge auf 1 zu bringen.

Skalarprodukt von Vektoren

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren in 3D wird analog zu 2D berechnet:

$\vdi aaa \cdot \vdi bbb = a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2 +a_3\cdot b_3 $

Winkel zwischen Vektoren

Die Formel für Winkel ist in 3D die gleiche wie in 2D:

$\cos(\alpha) = \dfrac{\vec v \cdot \vec w}{|\vec v| \cdot |\vec w|}$

Somit sind zwei Vektoren in 3D senkrecht zueinander, wenn der $\cos(\alpha)=0$ ist.
Hierzu reicht es den Nenner des Bruchs zu betrachten, d.h. wenn $\vec v \cdot \vec w=0$ ist, dann ist $\vec v$ senkrecht zu $\vec w$.