Beispiel:
Geg: $P(2\mid 38)$ und $Q(1\mid 14)$.
Ges: Die Wachstumsfunktion $f(x)=4\cdot b^x+c$ die durch $P$ und $Q$ geht.
Lösung
Einsetzen von $P$: $ 38 = 4\cdot b^{2}+c$
Einsetzen von $Q$: $ 14 = 4\cdot b^{1}+c$
Ein solches Gleichungssystem löst man indem beide Gleichungen
nach $c$ umstellt und gleichsetzt.
$
\begin{array}{rcll}
38 &=& 4\cdot b^{2}+c & | -4b^2 \\
14 &=& 4\cdot b^{1}+c & | -4b^1 \\\hline
38-4b^2 &=& c & | \\
14-4b^1 &=& c & | \text{ gleichsetzen} \\\hline
38-4b^2 &=& 14-4b^1 & | -14 | +4b^1\\
24-4b^2+4b^1 &=& 0 & | \text{ ordnen} \\
-4b^2+4b^1+24 &=& 0 & | \text{ Mitternachtsformel} \\
b_{1,2} &=& \dfrac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot(-4)\cdot24}}{-8} \\
b_{1,2} &=& \dfrac{-4\pm\sqrt{400}}{-8} \\
b_{1,2} &=& \dfrac{-4\pm20}{-8} \\
b_1 &=& 3\\
b_2 &=& -2 & | \text{ keine Lösung, da } b\gt0 \text{ sein muss}\\
\end{array}$
Somit ist $b=3$.
Setzt man $b$ in eine Gleichung ein, erhält man $c$:
$14= 4\cdot 3^{1}+c \Rightarrow c = 2$
Somit ist $f(x)=4\cdot 3^x+2$
Hinweis: Wenn die $x$-Werte der Punkte "schlecht" gewählt sind,
kann es sein, dass die entstehende Gleichung nicht mit Schulmathematik
gelöst werden kann.