Wachstumsfunktionen

Funktionen für exponentielles Wachstum haben die Form:

$f(x)= a\cdot b^x+c$ mit $b>0$ oder
$f(x)= a\cdot e^{dx}+c$

Eine Funktion der Form $f(x)= a\cdot b^x+c$ kann man mit einem Basiswechsel in $f(x)= a\cdot e^{\ln(b)x}+c$ umwandeln.

Eigenschaften: $f(x)= a\cdot b^x+c$

steigt ins unendliche, wenn $a\gt 0$ und $b\gt 1$
fällt ins unendliche, wenn $a\lt 0$ und $b\gt 1$
fällt auf $c$, wenn $a\gt 0$ und $0\lt b\lt 1$
steigt bis $c$, wenn $a\lt 0$ und $0\lt b\lt 1$

Eigenschaften: $f(x)= a\cdot e^{dx}+c$

steigt ins unendliche, wenn $a\gt 0$ und $d\gt 0$
fällt ins unendliche, wenn $a\lt 0$ und $d\gt 0$
fällt auf $c$, wenn $a\gt 0$ und $d\lt 0$
steigt bis $c$, wenn $a\lt 0$ und $d\lt 0$

Aufstellen von Wachstumsfunktionen

Fall $f(x)=ab^x+c$ mit bekanntem $b$

Beispiel: Geg: $P(-3\mid -1{,}5)$ und $Q(1\mid 6)$.
Ges: Die Wachstumsfunktion $f(x)=a\cdot 2^x+c$ die durch $P$ und $Q$ geht.

Lösung

Einsetzen von $P$: $-1{,}5 = a2^{-3}+c$
Einsetzen von $Q$: $ 6 = a2^{1}+c$
Somit hat man das Gleichungssystem:
$\begin{array}{rcll} -1{,}5&=&\frac18a+c & \\ 6&=&2a+c & \\\hline -1{,}5&=&\frac18a+c & \\ 7{,}5&=&\frac{15}8a & \text{ 2. - 1. Gleichung} \\\hline -1{,}5&=&\frac18a+c & \\ 4&=& a & \\\hline \end{array}$
Setzt man $a=4$ jetzt eine der beiden Gleichungen ein erhält man $c$: $6 = 4\cdot 2^{1}-c \Rightarrow 6=8+c \Rightarrow c=-2$
Somit ergibt sich: $f(x)= 4\cdot 2^x-2$

Fall $f(x)=ab^x+c$ mit bekanntem $c$

Beispiel: $f(x)=-2\cdot \left(\frac12\right)^x+3$
Geg: $P(1\mid 2)$ und $Q(-1\mid -1)$.
Ges: Die Wachstumsfunktion $f(x)=a\cdot b^x+3$ die durch $P$ und $Q$ geht.

Lösung

Einsetzen von $P$: $ \phantom{-}2 = a\cdot b^{1}+3$
Einsetzen von $Q$: $ -1 = a\cdot b^{-1}+3$
Ein solches Gleichungssystem löst man indem man alle Zahlen nach links bringt und dann beide Gleichungen durcheinander teilt:
$\begin{array}{rcll} 2 &=& a\cdot b^{1}+3 & | -3 \\ -1 &=& a\cdot b^{-1}+3 & | -3 \\\hline -1 &=& a\cdot b^{1} & \\ -4 &=& a\cdot b^{-1} & \text{ teilen} \\\hline \dfrac{-1}{-4} &=& \dfrac{a\cdot b^{1}}{ a\cdot b^{-1}} & | a\text{ kürzen} \\ \dfrac{-1}{-4} &=& \dfrac{b^{1}}{b^{-1}} & | \text{ Potenzen zusammenfassen} \\ \dfrac{-1}{-4} &=& b^{1-(-1)} & | \text{ zusammenfassen} \\ \dfrac{1}{4} &=& b^{2} & | \sqrt{\dots}\\ \dfrac{1}{2} &=& b & \\ \end{array}$
Setzt man $b=\frac12$ in eine der beiden Gleichungen ein erhält man $a$:
$2 = a\cdot \left(\frac12\right)^{1}+3 \Rightarrow 2= \frac12 a+3 \Rightarrow -2= a $
Somit ist $f(x)=-2\cdot \left(\frac12\right)^x+3$

Fall $f(x)=ab^x+c$ mit bekanntem $a$

Beispiel: $f(x)=4\cdot 3^x+2$
Geg: $P(2\mid 38)$ und $Q(1\mid 14)$.
Ges: Die Wachstumsfunktion $f(x)=4\cdot b^x+c$ die durch $P$ und $Q$ geht.

Lösung

Einsetzen von $P$: $ 38 = 4\cdot b^{2}+c$
Einsetzen von $Q$: $ 14 = 4\cdot b^{1}+c$
Ein solches Gleichungssystem löst man indem beide Gleichungen nach $c$ umstellt und gleichsetzt.
$ \begin{array}{rcll} 38 &=& 4\cdot b^{2}+c & | -4b^2 \\ 14 &=& 4\cdot b^{1}+c & | -4b^3 \\\hline 38-4b^2 &=& c & | \\ 14-4b^1 &=& c & | \text{ gleichsetzen} \\\hline 38-4b^2 &=& 14-4b^1 & | -14 | +4b^1\\ 24-4b^2+4b^1 &=& 0 & | \text{ ordnen} \\ -4b^2+4b^1+24 &=& 0 & | \text{ Mitternachtsformel} \\ b_{1,2} &=& \dfrac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot(-4)\cdot24}}{-8} \\ b_{1,2} &=& \dfrac{-4\pm\sqrt{400}}{-8} \\ b_{1,2} &=& \dfrac{-4\pm20}{-8} \\ b_1 &=& 3\\ b_2 &=& -2 & | \text{ keine Lösung, da } b\gt0 \text{ sein muss}\\ \end{array}$
Somit ist $b=2$.
Setzt man $b$ in eine Gleichung ein, erhält man $c$:
$14= 4\cdot 3^{1}+c \Rightarrow c = 2$
Somit ist $f(x)=4\cdot 3^x+2$

Hinweis: Wenn die $x$-Werte der Punkte "schlecht" gewählt sind, kann es sein, dass die entstehende Gleichung nicht mit Schulmathematik gelöst werden kann.

Ablesen vom Schaubild

Ist von der Wachstumsfunktion das Schaubild gegeben, so kann dort oft die Asymptote (Wert von $c$) abgelesen werden.
Meist ist auch das Ablesen eines Punktes möglich.
Zusammen mit den restlichen Angaben entsteht einer der oben genannten Fälle.