Ableitungsregeln

Ableitung von Grundfunktionen
Funktion	Ableitung
$f(x)=c$	$f'(x)=0$
$f(x)=x$	$f'(x)=1$
$f(x)=x^n$	$f'(x)=nx^{n-1}$
$f(x)=e^x$	$f'(x)=e^x$
$f(x)=b^x$	$f'(x)=\ln(b)\cdot b^x$

Regel für $f(x)=x$ ist ein Spezialfall der Regel für $f(x)=x^n$ mit $n=1$, denn

$f(x)=x=x^1$
Somit ist die Ableitung $n\cdot x^{n-1}$ mit $n=1$, also
$f'(x)=1\cdot x^{1-1} = 1\cdot x^0 = 1\cdot 1 = 1$

die ersten Ableitungsregeln
Nr.	Funktion	Ableitung
1	$f(x)=a\cdot g(x)$	$f'(x)=a\cdot g'(x)$
2	$f(x)=g(x)+h(x)$	$f'(x)=g'(x)+h'(x)$

Beispiele:

Gesucht ist die Ableitung von $f(x)=2x^4$
Lösung:
$\begin{array}{rll} f'(x)=\!\!\!\! &(2x^4)' & | \text{ Regel 1}\\ =\!\!\!\! &2\cdot(x^4)' & |\ x^n \text{ mit }n=4\\ =\!\!\!\! &2\cdot4x^3 & \\ =\!\!\!\! & 8x^3 & \\ \end{array}$
Das heißt die Ableitung von $f(x)=2x^4$ ist:
$f'(x)=8x^3$
Gesucht ist die Ableitung von $f(x)=x^2+x$
Lösung:
$\begin{array}{rll} f'(x)=\!\!\!\! &(x^2+x)' & | \text{ Regel 2}\\ =\!\!\!\! &(x^2)'+(x)' & |\ (x)'=1\\ =\!\!\!\! &(x^2)'+1 & |\ x^n \text{ mit }n=2\\ =\!\!\!\! &2x+1 & \\ \end{array}$
Das heißt die Ableitung von $f(x)=x^2+x$ ist:
$f'(x)=2x+1$
Gesucht ist die Ableitung von $f(x)=4x^2+3x+1$
Lösung:
$\begin{array}{rll} f'(x)=\!\!\!\! &(4x^2+3x+1)' & | \text{ Regel 2}\\ =\!\!\!\!&(4x^2)'+(3x)'+(1)' & |\ (1)'=0\\ =\!\!\!\!&(4x^2)'+(3x)'+ 0 & | \text{ Regel 1}\\ =\!\!\!\!&(4x^2)'+3(x)'+ 0 & | \text{ Regel 1}\\ =\!\!\!\!&4(x^2)'+3(x)'+ 0 & |\ (x)'=1\\ =\!\!\!\!&4(x^2)'+3\cdot 1+ 0 & | x^n \text{ mit } n=2\\ =\!\!\!\!&4\cdot 2x^1+3\cdot 1+ 0 & | \text{ vereinfachen }\\ f'(x)=\!\!\!\! & 8x+3 & \\ \end{array}$
Das heißt die Ableitung von $f(x)=4x^2+3x+1$ ist:
$f'(x)=8x+3$
Bestimme die Ableitung $f'(x)$ für $f(x)=\frac12e^x$
Lösung:
$\begin{array}{rll} f'(x)=\!\!\!\! & (\frac12e^x)' & | \text{ Regel 1}\\ =\!\!\!\! & \frac12(e^x)' & |\ (e^x)'=e^x\\ f'(x)=\!\!\!\! & \frac12e^x & \\ \end{array}$