Die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ von einer Funktion $f(x)$ liefert zu jedem
Funktionswert von $f$ wieder den $x$-Wert.
Bsp.: Gegeben ist die Funktion $f(x)= 2x-3$ und
ihre Umkehrfunktion $f^{-1}(x) = \frac12x+\frac32$
$f(1)= -1$ und $\;f^{-1}(-1)= 1$
$f(2)= \hphantom{-}1$ und $\;f^{-1}(\hphantom{-}1)= 2$
$f(3)= \hphantom{-}3$ und $\;f^{-1}(\hphantom{-}3)= 3$
$f(4)= \hphantom{-}5$ und $\;f^{-1}(\hphantom{-}5)= 4$
Bekannte Funktion/Umkehrfunktion-Paare:
$f(x)=x+1$ und $\;f^{-1}(x)=x-1$
$f(x)=x-1$ und $\;f^{-1}(x)=x+1$
$f(x)=2x$ und $\;f^{-1}(x)=\frac12x$
$f(x)=x^2$ und $\;f^{-1}(x)=\sqrt{x}$
$f(x)=x^3$ und $\;f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$
$f(x)=x^4$ und $\;f^{-1}(x)=\sqrt[4]{x}$
Für jedes Paar $f(x)$ und $f^{-1}(x)$ gilt:
$f(f^{-1}(x)) = x$ und
$f^{-1}(f(x)) = x$
Zusammenhang $f$ und $f^{-1}$
Probleme
Eine Funktion $f$ ordnet jedem $x\in\mathbb{D}$ einen Funktionswert $y\in\mathbb{W}$ zu.
In die Richtung $x\rightarrow y$ ist die Zuordnung eindeutig.
In die Richtung $y\rightarrow x$ aber nicht zwingend.
Die Funktion $f(x)=x^2$ ordnet $x=1$ und $x=-1$ den $y$-Wert 1 zu und
sie ordnet $x=2$ und $x=-2$ den $y$-Wert 4 zu und so weiter.
Somit wäre die Umkehrfunktion $f^{-1}$ keine Funktion, da $f^{-1}(1)=-1$ und $f^{-1}(1)=1$ wäre.
Die Lösung ist, dass man den Definitionsbereich $\mathbb{D}$ so lange einschränkt,
bis keine Mehrdeutigkeiten mehr vorhanden sind.
Bei $f(x)=x^2$ kann man den Definitionsbereich auf $\mathbb{R}_+$ einschränken,
denn für alle $x\geq 0$ gibt es für jeden $y$-Wert nur einen $x$-Wert.
Alternativ könnte man den Definitionsbereich auf $\mathbb{R}_-$ einschränken,
denn für alle $x\leq 0$ gibt es für jeden $y$-Wert auch nur einen $x$-Wert.
Daher ist die Umkehrfunktion von $x^2$:
$f^{-1}(x)=\sqrt{x}\ $ oder
$f^{-1}(x)=-\sqrt{x}$
Da die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)=\sqrt{x}\ $ nur eine von zwei möglichen $x$-Werten
liefert, müssen wir beim Lösen einer Gleichung den anderen möglichen $x$-Wert
wieder rekonstruieren.
Dies tun wir beim Lösen einer Gleichung, indem wir mit $\pm\sqrt{x}$ umformen,
also beide möglichen Umkehrfunktion anwenden.
Umkehrfunktion an der Wertetabelle
Da $f$ von $x$ nach $y$ abbildet und $f^{-1}$ von $y$ nach $x$, erhält man die
Wertetabelle von $f^{-1}$ indem man $x$ und $y$ in der Wertetabelle von $f$ vertauscht.
Da ein Punkt auf der Umkehrfunktion nur ein Punkt auf der Funktion ist, bei dem man
die $x$ und $y$-Koordinate vertauscht hat, entsteht das Schaubild der Umkehrfunktion
indem man bei allen Punkten auf der Funktion die Koordinaten vertauscht.
Geometrisch entspricht dies einer Spiegelung des Funktionsgraphen an der ersten
Winkelhalbierenden $y=x$.
Das heißt man geht von der Winkelhalbierenden im 90° Winkel bis zum Funktionsgraph
und trägt diese Länge in die Gegenrichtung ab. So erhält man den Punkt auf der Umkehrfunktion.
Bevor man an $y=x$ spiegelt, muss man allerdings den Definitionsbereich so einschränken,
dass jeder $y$-Wert nur einmal vorkommt.
Parabel an $y=x$ gespiegelt für $x\geq 0$
Parabel an $y=x$ gespiegelt für $x\geq 0$
(grüner und blauer Teil)
Umkehrfunktion am Funktionsterm
Um den Funktionsterm der Umkehrfunktion zu bestimmen, tauscht man
in der Funktionsgleichung $x$ und $y$ und formt die Gleichung nach $y$ um.
Die entstehende Gleichung ist die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion.
Beispiele:
Gegeben: $f(x)=4x$ Gesucht: die zugehörige Umkehrfunktion $f^{-1}$ Lösung:
