y-Achsen Symmetrie

Eine Funktion ist symmetrisch zur $y$-Achse, wenn das Schaubild so aussieht, als wäre es an der $y$-Achse gespiegelt.

Eine Funktion $f$ ist also genau dann $y$-achsensymmetrisch, wenn sie gleich ihrer an der $y$-Achse gespiegelten Funktion ist.
Mathematisch muss also die Gleichung $f(-x)=f(x)$ erfüllt sein.

Schaubilder von y-Achsen symmetrischen Funktionen — 3 Schaubild mit $y$-Achsensymmetrie

Beispiele:

Zeigen Sie, dass $f(x)=2x^4-8x^2+2$ symmetrisch zur $y$-Achse ist.
Lösung:
Wir setzen $-x$ in $f$ ein und prüfen, ob wir den Funktionsterm wieder zu dem von $f(x)$ umformen können.
$\begin{array}{rcl} f(-x) &=& 2(-x)^4-8(-x)^2+2 \\ &=& 2\cdot (-1)^4\cdot x^4-8\cdot (-1)^2\cdot x^2+2 \\ &=& 2\cdot 1\cdot x^4-8\cdot 1\cdot x^2+2 \\ &=& 2\cdot x^4-8\cdot x^2+2 \\ &=& f(x) \\ \end{array}$
Da also $f(-x)=f(x)$ ist, ist $f(x)$ symmetrisch zur $y$-Achse.
Zeigen Sie, dass $f(x)=\frac14\cdot(x-2)(x+2)$ symmetrisch zur $y$-Achse ist.
Lösung:
Wir setzen $-x$ in $f$ ein und prüfen, ob wir den Funktionsterm wieder zu dem von $f(x)$ umformen können.
$\begin{array}{rcl} f(-x) &=& \frac14\cdot(-x-2)(-x+2) \\ &=& \frac14\cdot(-1)(x+2)(-1)(x-2) \\ &=& \frac14\cdot(-1)(-1)(x+2)(x-2) \\ &=& \frac14\cdot(1)(x+2)(x-2) \\ &=& \frac14\cdot(x+2)(x-2) \\ &=& \frac14\cdot(x-2)(x+2) \\ &=& f(x) \\ \end{array}$
Da also $f(-x)=f(x)$ ist, ist $f(x)$ symmetrisch zur $y$-Achse.
Zeige, dass $f(x)=x^2-3x$ nicht symmetrisch zur $y$-Achse ist.
Lösung:
Wir haben 2 Möglichkeiten zu zeigen, dass $f(-x)\neq f(x)$ ist.
Weg 1:
$\begin{array}{rcl} f(-x) &=& (-x)^2-3(-x) \\ &=& (-1)^2x^2-3(-1)x \\ &=& x^2+3x \\ &\neq& f(x) \\ \end{array}$
$f(x)=x^2-3x \neq x^2+3x =f(-x)$ somit ist sie nicht $y$-achsensymmetrisch.
Weg 2:
Damit $f(x)\neq f(-x)$ gilt reicht es einen Wert für $x$ zu wählen, bei dem $f(x)$ nicht $f(-x)$ ist.
Wähle $x=1$: $f(1) = 1^2-3\cdot 1 = -2$
Wähle $x=1$: $f(-1) = (-1)^2-3\cdot(-1)=4$
Somit ist $f(1)\neq f(-1)$ und damit auch $f(x)\neq f(-x)$.

Symmetrie zur $y$-Achse