Ursprungssymmetrie

Beispiele:

Zeigen Sie, dass $f(x)=4x^3-8x$ symmetrisch zum Ursprung ist.
Lösung:
Wir setzen $-x$ in $f$ ein, negieren den ganzen Term und prüfen, ob wir diesen Term wieder zu dem von $f(x)$ umformen können.
$\begin{array}{rcl} -f(-x) &=& -(4(-x)^3-8(-x)) \\ &=& -(4(-1)^3x^3-8(-1)x) \\ &=& -(4(-1)x^3-8(-1)x) \\ &=& -(-1)(4x^3-8x) \\ &=& 4x^3-8x \\ &=& f(x) \\ \end{array}$
Da also $-f(-x)=f(x)$ ist, ist $f(x)$ symmetrisch zum Ursprung.
Zeigen Sie, dass $f(x)=xe^{x^2}$ ursprungssymmetrisch ist.
Lösung:
Wir setzen $-x$ in $f$ ein und ein Minus vor diesen Term und prüfen ob wir den geänderten Funktionsterm wieder zu dem von $f(x)$ umformen können.
$\begin{array}{rcl} -f(-x) &=& -(-xe^{(-x)^2}) \\ &=& -(-xe^{(-x)^2}) \\ &=& -(-1)xe^{(-1)^2x^2} \\ &=& 1xe^{1x^2} \\ &=& xe^{x^2} \\ &=& f(x) \\ \end{array}$
Da also $-f(-x)=f(x)$ ist, ist $f(x)$ symmetrisch zum Ursprung.
Zeige, dass $f(x)=x^2-3x$ nicht symmetrisch zum Ursprung ist.
Lösung:
Wir haben 2 Möglichkeiten zu zeigen, dass $-f(-x)\neq f(x)$ ist.
Weg 1:
$\begin{array}{rcl} -f(-x) &=& -((-x)^2-3(-x)) \\ &=& -((-1)^2x^2+3x) \\ &=& -(x^2+3x) \\ &=& -x^2-3x \\ &\neq& f(x) \\ \end{array}$
$f(x)=x^2-3x \neq -x^2-3x =-f(-x)$ somit ist sie nicht ursprungssymmetrisch.
Weg 2:
Damit $f(x)\neq -f(-x)$ gilt reicht es einen Wert für $x$ zu wählen, bei dem $f(x)$ nicht $-f(-x)$ ist.
Wähle $x=1$: $f(1) = 1^2-3\cdot 1 = -2$
Wähle $x=1$: $-f(-1) = -((-1)^2-3\cdot(-1))=-4$
Somit ist $f(1)\neq -f(-1)$ und damit auch $f(x)\neq -f(-x)$.

Symmetrie zum Ursprung