Schaubild

Eine Funktion ordnet jedem $x$-Wert aus der Definitionsmenge einen $y$-Wert aus der Wertemenge zu.
Diese Zuordnung von $x$ und $y$ kann man auch graphisch darstellen, da graphische Darstellungen oft intuitiver erfassbar sind als formale Darstellungen.
Einen Wert haben wir durch einen Punkt auf einem Zahlenstrahl dargestellt. Da wir jetzt zwei Werte haben, nämlich einen für $x$ und einen für $y$, könnten wir einfach zwei Zahlenstrahle verwenden. Jedes Paar $(x\mid y)$ kann dann als Pfeil von dem einen Zahlenstrahl zum anderen Zahlenstrahl darstellen.

Allerdings wird diese Darstellung schnell unübersichtlich, wie man am Beispiel der Normalparabel $y=x^2$ sieht.
Wenn man für viele $x$ die Pfeile einzeichnet wird die Darstellung sehr schnell überladen und unübersichtlich.

Zuordnung über 2 Zahlenstrahle — Darstellung von $y=2x+1$

Das kartesische Koordinatensystem

Im kartesischen Koordinatensystem werden die beiden Zahlenstrahle für $x$ und $y$ senkrecht zueinander angeordnet. Man spricht hier von Achsen. Die $x$-Achse verläuft waagerecht und die $y$-Achse senkrecht. Die $y$-Achse beginnt mit 0 auf dem Nullpunkt der $x$-Achse.

Auf jeder Achse sind die Koordinatenabstände immer gleich weit. Somit reicht es auf beiden Achsen den Wert für 1 einzuzeichnen, da der Betrachter hiervon die weiteren Abstände ableiten kann.

Eine Punkt $(x\mid y)$ zeichnet man ein, indem man den passenden $x$-Wert auf der $x$-Achse sucht und senkrecht nach oben/unten geht, bis man beim passenden $y$-Wert angekommen ist. Den $y$-Wert bestimmt man hierbei, indem man senkrecht von der $y$-Achse nach rechts/links geht.

Funktionen einzeichnen

Um eine Funktion in ein kartesisches Koordinatensystem einzuzeichnen, zeichnet man mehrere Punkte der Funktion in das Koordinatensystem. Diese kann man einer Wertetabelle entnehmen.
Zeichnet man eine Linie durch all diese Punkte kann man die Bereiche zwischen den Punkten füllen.

Beispiel: Das Schaubild der Funktion $f(x)=x^2$ soll gezeichnet werden.
Lösung:

Zuerst stellen wir eine Wertetabelle auf:
$ \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x & -2{,}5 & -2 & -1{,}5 & -1 &-0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 & 2{,}5 \\\hline f(x) & 6{,}25 & 4 & 2{,}25 & 1 & 0{,}25 & 0 & 0{,}25 & 1 2{,}25 & 4 & 6{,}25 \\\hline \end{array} $ Jetzt zeichnen wir jeden Punkt aus der Wertetabelle in das Koordinatensystem ein.

Dann verbinden wir die Punkte miteinander. Hierbei ziehen wir aber nicht einfach gerade Striche von einem Punkt zum nächsten, sondern versuchen die Krümmung der Funktion passend anzunähern.
Ist der Abstand zwischen zwei Punkten zu groß, so können wir noch einen Punkt dazwischen berechnen und einzeichnen.

Punkte einer Normalparabel im kartesische Koordinatensystem — Punkte von $y=x^2$ im
kartesisches Koordinatensystem

Punkte einer Normalparabel im kartesische Koordinatensystem die verbunden wurden — Schaubild von $y=x^2$ im

Die Funktion und ihr Schaubild

In der Schule wird genau zwischen der Funktionsgleichung und dem zugehörigen Schaubild unterschieden. Daher findet man oft Sätze wie

Gegeben ist die Funktion $f(x)=2x+1$ mit dem Schaubild $K_f$.

Hier ist $f(x)=\dots$ die Funktionsgleichung und $K_f$ ist die Kurve von $f$.
Wenn nur eine Funktion gegeben ist heißt es oft $f$ und $K$. Sind mehrere Funktionen gegeben, wird der Funktionsname als Index an das $K$ geschrieben um unterscheiden zu können zu welcher Funktion das Schaubild gehört.

Da Schnittpunkte gehört immer zum Schaubild, d.h. zu $K$.
Auch Achsen-Schnittpunkte gehören zu $K$ und nicht zu $f$.
Die Koordinaten von Schnittpunkten können natürlich mit der Funktionsdefinition bestimmt werden, aber sprachlich gehören sie zur Kurve $K$.

Das Schaubild einer Funktion hat mehrere Bezeichnungen, die alle das gleiche meinen:

Schaubild $K$ von $f$
Kurve $K$ von $f$
Graph $K$ von $f$
Funktionsgraph $K$ von $f$

Der Graph ist die Menge aller Punkte $P(x\mid y)$ für die gilt: $y=f(x)$.
Wem das zu kompliziert ist, der merke sich einfach, dass $K_f$ und $f$ das gleiche darstellen.