Globales Verhalten von Polynomen

Wohin das Schaubild eines Polynoms für betragsmäßig große $x$ läuft nennt man globales Verhalten.
Das heißt, wie verläuft das Schaubild bei $x\rightarrow -\infty$ und $x\rightarrow \infty$.
Diesen Verlauf haben wir bei Potenzfunktionen bereits betrachtet und dies ist sehr hilfreich, da der Verlauf bei Polynomen nur von der höchsten Potenz abhängt.

Bei einem Polynome mit Grad ≥1 $f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$ hängt das Verhalten gegen unendlich also nur von dem Term $a_nx^n$ ab:

ist $n$ gerade und
- $a_n\gt0$ so geht $f(x)\rightarrow\phantom{-}\infty$ für $x\rightarrow\pm\infty$
- $a_n\lt0$ so geht $f(x)\rightarrow-\infty$ für $x\rightarrow\pm\infty$
ist $n$ ungerade und
- $a_n\gt0$ so geht
  $f(x)\rightarrow-\infty$ für $x\rightarrow-\infty$ und
  $f(x)\rightarrow\phantom{-}\infty$ für $x\rightarrow\phantom{-}\infty$
- $a_n\lt0$ so geht
  $f(x)\rightarrow\phantom{-}\infty$ für $x\rightarrow-\infty$ und
  $f(x)\rightarrow-\infty$ für $x\rightarrow\phantom{-}\infty$

Beispiele

Beschreibe das globale Verhalten von $f(x)=2x^3+3x^2$
Lösung:
Die höchste Potenz ist 3 (ungerade) und der Vorfaktor von $x^3$ ist $2\gt 0$,
also kommt die Funktion von $-\infty$ und geht nach $\infty$.
Im Schaubild sieht man dies sehr gut.
Das lokale Verhalten ist ein Auf und Ab, aber an den Rändern des Schaubilds sieht man, dass es links nach unten und rechts nach oben geht.

Graph von $f(x)=2x^3+3x^2$
Beschreibe das globale Verhalten von $f(x)=-\frac{10}{27}x^4-\frac{2}{9}x^3+\frac{7}{6}x^2$
Lösung:
Auch hier zählt nur der höchste Potenz und ihr Vorfaktor.
Es reicht also, wenn man $-\frac{10}{27}x^4$ betrachtet.
Da die Potenz gerade ist geht und kommt die Funktion von der gleichen Richtung.
Da der Vorfaktor negativ ist, heißt dass sie kommt von $-\infty$ und geht nach $-\infty$.
Formaler: für $x\rightarrow -\infty$ gilt $f\rightarrow-\infty$
Formaler: für $x\rightarrow \phantom-\infty$ gilt $f\rightarrow-\infty$

Graph von
$f(x)=-\frac{10}{27}x^4-\frac{2}{9}x^3+\frac{7}{6}x^2$
Beschreibe das globale Verhalten von $f(x)=3x^4-8x^3+6x^2$
Lösung:
Die Funktion ist ein Polynom 4.Grades.
Es reicht also, wenn man $3x^4$ betrachtet.
Die höchste Potenz ist gerade und der Vorfaktor ist positiv.
Somit gilt $f(x)\rightarrow\infty$ für $x\rightarrow\pm\infty$.
$x\rightarrow\pm\infty$ ist eine Zusammenfassung von $x\rightarrow+\infty$ und $x\rightarrow-\infty$, da hier die $y$-Werte für beide Seiten in die gleiche Richtung gehen, kann man es auch zusammenfassen. Mathematiker sind nun mal schreibfaul.

Graph von
$f(x)=3x^4-8x^3+6x^2$
Vorsicht bei konstanten Funktionen, wie z.B. $f(x)=4$
Hier ist die höchste Potenz 0 (es gilt ja $4=4x^0$).
Da $f$ konstant ist, verläuft sie für $x\rightarrow\pm\infty$ auch gegen 4.