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Polynome

Polynome sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen zusammengesetzt werden:

$f(x)=a_nx^n+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0$

Hierbei sind $a_0, a_1, a_2, \dots, a_n$ reelle Zahlen und $n$ ist eine natürliche Zahl.

Der Grad eines Polynoms ist die höchste $x$-Potenz, bei der $a\neq 0$ ist. Somit sind...

... waagerechte ($f(x)=a_0$) Polynome vom Grad 0, da $x^0=1$
... Geraden ($f(x)=a_1x+a_0$) Polynome vom Grad 1, da $x^1=x$
... Parabeln Polynome vom Grad 2, da die höchste Potenz $x^2$ ist
... Polynome $f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ vom Grad 3
... Polynome $f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ vom Grad 4
und so weiter

Normalform

Jedes Polynom kann in der Normalform $f(x)=a_nx^n+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0$ dargestellt werden.

Bsp.:

$f(x)=2x^2+3x-8$ ist ein Polynom vom Grad 2
$f(x)=-1x^4+x^2-8$ ist vom Grad 4. Hier ist $a_3=0$ und $a_1=0$, denn $f(x)=-1x^4++0x^3+x^2+0x^1-8$
$f(x)=2x^{10}+3x^5$ ist vom Grad 10
$f(x)=-\frac12x-\frac74$ ist vom Grad 1

Produktform

Die Produktform eines Polynoms vom Grad $n$ ist $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$. Hier sind die $x_1$ bis $x_n$ die Nullstellen des Polynoms. Die Produktform existiert in dieser Form nur, wenn $f(x)$ $n$ Nullstellen hat.

Die Produktform überführt man in die Normalform, indem man alle Klammern ausmultipliziert.
Die Normalform überführt man in die Produktform, indem man alle Nullstellen berechnet.