Nullstellen von Polynomen 4. Grades

• $0=x^4-16$ kann man durch umformen lösen:
  $\begin{array}{rcll} 0&=&x^4-16& | -8\\ 16&=&x^4 & | \sqrt[4]{\dots}\\ \pm2&=&x \end{array}$
  Erinnere dich: Die vierte Wurzel kann man nur aus positiven Zahlen oder 0 ziehen und sie hat zwei Lösung (plus und minus).
  
  Allgemein $0=ax^4+d$ einfach umformen
  
  
• $0=x^4-2x^3+x^2$ kann man durch ausklammern und dem Satz des Nullprodukts lösen:
  $\begin{array}{rcll} 0&=&x^4-2x^3+x^2& |\ x \text{ ausklammern}\\ 0&=&(x^2-2x+1)x^2 & | \text{ Satz vom Nullprodukt}\\ \end{array}$
  Entweder ist $x^2-2x+1=0$ oder $x^2=0$, die erste Gleichung ist eine Parabel und die können wir lösen (es kommt $x=1$ raus) und die zweite Gleichung $x^2=0$ ist eine weitere Lösung (mit $x=0$).
  Allgemein
  $0=ax^4+bx^3+cx^2+dx$ ausklammern von $x$
  $0=ax^4+bx^3+cx^2$ ausklammern von $x^2$
  $0=ax^4+bx^3$ ausklammern von $x^3$
  
  
  
• Gleichungen der Form $0=ax^4+bx^2+c$ löst man mit Substitution (Ersetzen).
  Beachte: Man hat nur gerade Hochzahlen (4, 2 und 0).
  Hierbei ersetzt man $x^2$ mit $u$ und bekommt:
  $0=au^2+bu+c$
  Diese Gleichung ist eine quadratische Gleichung mit $u$ und man kann sie z.B. mit der Mitternachtsformel lösen.
  Die Lösung der quadratischen Gleichung liefert Lösungen für $u$.
  Setzt man wieder $x^2$ für $u$ ein, erhält man Lösungen für $x$. Dies nennt man Resubstitution.
  
  Beispiel: Nullstellen von $f(x)=x^4-3x^2-4$ 
  $\begin{array}{rcll} 0&=&x^4-3x^2-4& |\text{ ersetze }x^2\text{ mit } u\\ 0&=&u^2-3u-4& \\ u_{1,2}&=& \dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2}\\ u_{1,2}&=& \dfrac{3\pm\sqrt{25}}{2}\\ u_1 &=& 4 \\ u_2 &=& -1\\ \end{array}$
  Resubstitution von $u_1$: $x^2=4$ also $x_{1,2}=\pm\sqrt{4}$
  Die ersten beiden Lösungen sind $x_1=-2$ und $x_2=2$
  
  Resubstitution von $u_2$: $x^2=-1$ keine Lösung, da $\sqrt{-1}$ nicht existiert.
  
  
• Wenn man eine Gleichung wie: $0=-2x^4+7x^2+x+4$ lösen muss, sollte man seinen Rechenweg nochmals überprüfen, da man so eine Gleichung nicht (mit Schulwissen) lösen kann.
  Daher hat man sich wahrscheinlich vorher schon mal verrechnet...