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$f(x)=ae^{bx}+c$ mit bekanntem $c$ aufstellen

Ist die Asymptote $c$ bekannt und zwei Punkte $P(x_1\mid y_1)$ und $Q(x_2\mid y_2)$ gegeben, so erhält man durch Punktprobe ein nicht lineares Gleichungssystem.
Vorgehen:
Durch Einsetzen von $P$ und $Q$ in $f$ erhält man:
$y_1 = ae^{bx_1}+c$
$y_2 = ae^{bx_2}+c$
Hier ist $a$ und $b$ unbekannt, der Rest ist gegeben.
Bringt man jetzt in beiden Gleichungen $c$ nach links so hat man:
$y_1-c = ae^{bx_1}$
$y_2-c = ae^{bx_2}$
Da $a\neq 0$ und $e^{\dots}>0$ kann man beide Seiten der Gleichung durcheinander teilen und erhält:
$\dfrac{y_1-c}{y_2-c} = \dfrac{ae^{bx_1}}{ae^{bx_2}}$
Hier kürzt sich $a$ raus und die einzig Unbekannte bleibt $b$:
$\dfrac{y_1-c}{y_2-c} = \dfrac{e^{bx_1}}{e^{bx_2}}$
Mit der Exponenten-Regel $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ ergibt sich:
$\dfrac{y_1-c}{y_2-c} = e^{bx_1-bx_2}$ mit ausklammern:
$\dfrac{y_1-c}{y_2-c} = e^{b(x_1-x_2)}$
Um nach $b$ aufzulösen verwendet man den $\ln$:
$\ln\left(\frac{y_1-c}{y_2-c}\right) = b(x_1-x_2)$ und teilt durch $x_1-x_2$:
$b=\frac{ \ln\left(\frac{y_1-c}{y_2-c}\right) }{x_1-x_2} $
Setzt man $b$ in eine der Gleichungen ein erhält man $a$.
Beispiel:
  1. Geg: $P(10\ln(2) \mid 25)$ und $Q(10\ln(4)\mid 45)$.
    Ges: Die Wachstumsfunktion $f(x)=ae^{bx}+5$ die durch $P$ und $Q$ geht.
    Lösung
    Einsetzen von $P$: $ 25 = a\cdot e^{10\ln(2)b}+5 \approx ae^{ 6{,}9315b}+5$
    Einsetzen von $Q$: $ 45 = a\cdot e^{10\ln(4)b}+5 \approx ae^{13{,}8629b}+5$
    $\begin{array}{rcll} 25 &=& ae^{ 6{,}9315b}+5 & | -5 \\ 45 &=& ae^{13{,}8629b}+5 & | -5 \\\hline 20 &=& ae^{ 6{,}9315b} & \\ 40 &=& ae^{13{,}8629b} & | \text{ teilen} \\\hline \frac{20}{40}&=&\frac{ae^{ 6{,}9314b}}{ae^{13{,}8629b}} & |\ a\text{ kürzen} \\ \frac{20}{40}&=&\frac{ e^{ 6{,}9314b}}{ e^{13{,}8629b}} & | \text{ Potenzen zusammenfassen} \\ 0{,}5 &=& e^{ -6{,}9314b} & | \ln(\dots) \\ \ln(0{,}5 ) &=& -6{,}9314b & | : (-6{,}9315) \\ 0{,}1 &=& b \end{array}$
    Setzt man $b=0{,}1$ in eine der beiden Gleichungen ein erhält man $a$:
    $25 = ae^{ 6{,}9315\cdot 0{,}1}+5 \Rightarrow 25= a\cdot 2 +5 \Rightarrow 10= a $
    Somit ist $f(x)=10\cdot e^{0{,}1 x}+5$
  2. Geg: $P(1 \mid 4)$ und $Q(3\mid 2)$.
    Ges: Die Wachstumsfunktion $f(x)=ae^{bx}$ die durch $P$ und $Q$ geht.
    Lösung
    Einsetzen von $P$: $ 4 = a\cdot e^{1b}$
    Einsetzen von $Q$: $ 2 = a\cdot e^{3b}$
    $\begin{array}{rcll} 4 &=& ae^{ 1b} & \\ 2 &=& ae^{ 3b} & | \text{ teilen} \\\hline \frac{4}{2}&=&\frac{ae^{b}}{ae^{3b}} & |\ a\text{ kürzen} \\ 2 &=&\frac{ e^{ b}}{ e^{3b}} & | \text{ Potenzen zusammenfassen} \\ 2 &=& e^{ -2b} & | \ln(\dots) \\ \ln(2) &=& -2b & | : (-2) \\ b &=& -\frac{\ln(2)}{2} & \\ b &\approx& -0{,}3466 \end{array}$
    Setzt man $b=-0{,}3466$ in eine der beiden Gleichungen ein erhält man $a$:
    $4 = ae^{ -0{,}3466\cdot 1 } \Rightarrow 4= a\cdot 0{,}70709 \Rightarrow a = 5{,}657 $
    Somit ist
    $f(x)=5{,}657\cdot e^{-0{,}3466 x}$