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$f(x)=ae^{bx}+c$ mit bekanntem $b$ aufstellen

Ist die $b$ bekannt und zwei Punkte $P(x_1\mid y_1)$ und $Q(x_2\mid y_2)$ gegeben, so erhält man durch Punktprobe ein normales lineares Gleichungssystem.
Vorgehen:
Durch Einsetzen von $P$ und $Q$ in $f$ erhält man:
$y_1 = ae^{bx_1}+c$
$y_2 = ae^{bx_2}+c$
Hier ist $a$ und $c$ unbekannt, der Rest ist gegeben.
Da $b$ gegeben ist kann $e^{bx_1}$ und $e^{bx_2}$ ausgerechnet werden.
Somit hat man ein normales LGS mit zwei Unbekannten, dass man wie gewohnt lösen kann.
Beispiel:
  1. Geg: $P(\ln(2) \mid -15)$ und $Q(\ln(4)\mid -127)$.
    Ges: Die Wachstumsfunktion $f(x)=ae^{3x}+c$ die durch $P$ und $Q$ geht.
    Lösung:
    Einsetzen von $P$: $ -15 = a\cdot e^{3\ln(2)}+c = 8a+c$
    Einsetzen von $Q$: $ -127 = a\cdot e^{3\ln(4)}+c = 64a+c$
    $\begin{array}{rcll} -15 &=& 8a+c & \\ -127 &=& 64a+c & | \text{ 1. Zeile - 2. Zeile} \\\hline 112 &=& -56 a & | :(-56) \\ -2 &=& a \end{array}$
    Setzt man $a=-2$ in eine der beiden Gleichungen ein erhält man $a$:
    $-15 = 8\cdot(-2)+c \Rightarrow c= 1 $

    Somit ist $f(x)=-2\cdot e^{3 x}+1$