e Gleichungen

$0=ae^{g(x)}+c$
Solche Gleichungen kann man einfach umformen, so dass der $e^{\ldots}$ Term alleine auf einer Seite steht.
dann zieht man den Logarithmus.
$0=x^2e^{g(x)}+xe^{g(x)}+be^{g(x)}$
Hier klammert man $e^{\ldots}$ aus und wendet den Satz vom Nullprodukt an. Da $e^{\ldots}>0$ ist liefert nur der Term in der Klammer Lösungen für $x$ .
$0=ae^{2g(x)}+be^{g(x)}+c$
Hier substituiert man $u=e^{g(x)}$ und $u^2=e^{2g(x)}$ . Dann wendet man die Mitternachtsformel an, welche Lösungen für $u$ liefert.
Der letzte Schritt ist die Resubstitution.

Beispiele:

Bestimme $x$ für $0=e^x-7$
Lösung
Fall (1)
$\begin{array}{rcll} 0&=&e^x-7 & | +7\\ 7&=&e^x & | \ln(\dots)\\ \ln(7)&=&x \\ x&\approx&1{,}946 \end{array}$
Welche Werte von $x$ lösen $0=e^{2x+1}-2xe^{2x+1}$ ?

Lösung

Fall (2) da jeder Summand den gleiche $e$ -Term hat.
$\begin{array}{rcll} 0&=&e^{2x+1}-2xe^{2x+1} & | e^{2x+1} \text{ ausklammern}\\ 0&=&(1-2x)e^{2x+1} & | \text{ Satz vom Nullprodukt}\\ \end{array}$
$1-2x=0$ oder $e^{2x+1}=0$
$\begin{array}{rcll} 0&=&1-2x & | +2x\\ 2x&=&1 & | : 2\\ x&=&\frac12 \end{array}$
$e^{2x+1}=0$ hat keine Lösung (da $e^{\dots}>0$ )
Löse $0=3e^{2x}-6$

Lösung

Fall (1), da ein $e$ -Term und sonst nur Zahlen
$\begin{array}{rcll} 0&=&3e^{2x}-6 & | +6\\ 6&=&3e^{2x} & | :3\\ 2&=&e^{2x} & | \ln(\dots)\\ \ln(2)&=&2x & | :2\\ \frac{\ln(2)}2&=&x & | :2\\ x&\approx& 0{,}3466 \end{array}$
Berechne die Nullstellen von $f(x)=\frac12e^{4x} + -e^{2x} + -4$ .

Lösung

Fall (3) (unterschiedliche Exponenten und $4x=2\cdot 2x$ )
$\begin{array}{rcll} 0 &=&\frac12e^{4x} + -e^{2x} + -4 & | \text{ ersetze } u=e^{2x}\\ 0 &=&\frac12 u^2 + - u + -4 & | \text{ Mitternachtsformel }\\ u_{1,2}&=&\dfrac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot\frac12\cdot(-4)}}{2\frac12} & \\ u_{1,2}&=&\dfrac{1\pm\sqrt{9}}{1} & \\ u_{1,2}&=& 1\pm3 & \\ u_1 &=& -2 & \text{ Resubstitution}\\ -2 &=&e^{2x} & | \ln \\ \ln(-2)&& \text{keine Lösung} & \\ u_2 &=& 4 & | \text{ Resubstitution}\\ 4 &=&e^{2x} & | \ln \\ \ln(4) &=&2x & | :2 \\ \frac{\ln(4)}2 &=&x & \\ x&\approx&0{,}693\\ \end{array}$
Berechne die Nullstellen von $f(x)=-3{,}2e^{-0{,}04x}+4{,}8e^{-0{,}06x}$ .

Lösung
Fall (2) man kann es nicht einfach ausrechnen (1) und man kann nicht substituieren (2), da $2\cdot 0{,}04x\neq -0{,}06$ ist.
Zum Ausklammern müssen beide Exponenten gleich sein, daher machen wir aus $e^{-0{,}06x}=e^{-0{,}02x-0{,}04x}=e^{-0{,}02x}e^{-0{,}04x}$
$\begin{array}{lrcll} & 0 &=&-3{,}2e^{-0{,}04x}+4{,}8e^{-0{,}06x} & \\ & 0 &=&-3{,}2e^{-0{,}04x}+4{,}8e^{-0{,}02x}e^{-0{,}04x} & \\ & 0 &=&(-3{,}2+4{,}8e^{-0{,}02x})e^{-0{,}04x} & \text{ Satz vom Nullprodukt}\\ & 0 &=& e^{-0{,}04x} & \text{ keine Lösung}\\ \text{oder }& 0 &=& -3{,}2+4{,}8e^{-0{,}02x} & | \text{ Fall (1)} | +3{,}2 \\ &3{,}2 &=& 4{,}8e^{-0{,}02x} & | :4{,}2 \\ &\frac{2}{3} &=& e^{-0{,}02x} & | \ln \\ &\ln\left(\frac{2}{3}\right) &=& -0{,}02x & | :-0{,}02 \\ &\dfrac{\ln\left(\frac{2}{3}\right)}{-0{,}02} &=& x & \\ & x&\approx&20{,}273\\ \end{array}$

exponentielle Gleichungen