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Asymptoten

Der Graph von $f(x)=e^x$ geht für $x\rightarrow+\infty$ gegen $\infty$.
Für $x\rightarrow -\infty$ geht der Graph jedoch gegen 0.
Da $e^x$ für $x\rightarrow -\infty$ gegen 0 geht, verhalten sich Exponential-Funktionen für betragsmäßig große $x$ manchmal wie Geraden.
Solche Geraden nennt man Asymptoten. Eine Asymptote ist also eine Gerade an die sich das Schaubild der Funktion immer weiter annähert, wenn $x$ betragsmäßig größer wird.
Meist nähert sich eine Funktion nur auf einer Seite einer Asymptote an (also für $x\rightarrow-\infty$ oder $x\rightarrow\infty$).
Manche $e$-Funktionen haben keine Asymptote.
Schaubilder von e hoch x
$e^x$ geht links gegen die $x$-Achse $y=0$
Beispiele:
  1. Gegeben: $f(x)=e^{2x}-2$
    Gesucht: Globales Verhalten für $x\rightarrow\pm\infty$
    Lösung:
    für $x\rightarrow+\infty$ geht $f(x)$ gegen unendlich, da $e^x$ hier gegen unendlich geht und $e^{2x}$ „doppelt so schnell” gegen unendlich geht.
    für $x\rightarrow-\infty$ geht $f(x)$ gegen $-2$, da $e^x$ hier gegen 0 geht und somit $f(x)=e^{2x}-2\approx 0-2 = -2$ wird.
  2. Gegeben: $f(x)=e^{-x}+1$
    Gesucht: Globales Verhalten für $x\rightarrow\pm\infty$
    Lösung:
    für $x\rightarrow+\infty$ geht $f(x)$ gegen $y=1$, da $e^{-x}$ hier gegen 0 geht und somit $f(x)=e^{-x}+1\approx 0+1 = 1$ wird.
    $e^{-x}$ kann man als $e^x$ ansehen, das an der $y$-Achse gespiegelt wurde.
    für $x\rightarrow-\infty$ geht $f(x)$ gegen unendlich, da $e^x{-x}$ hier gegen unendlich geht.
  3. Gegeben: $f(x)=e^{-x}-2 +e^x$
    Gesucht: Globales Verhalten für $x\rightarrow\pm\infty$
    Lösung:
    Der Graph von $f$ geht hier für $x\rightarrow\pm\infty$ gegen unendlich, da für
    $x\rightarrow+\infty$ der $e^x$ Teil gegen unendlich geht und für
    $x\rightarrow-\infty$ der $e^{-x}$ Teil gegen unendlich geht.
Schaubilder von e hoch 2 x minus 2
zu a): $f(x)=e^{2x}-2$ geht links gegen die Waagerechte $y=-2$
Schaubilder von e hoch minus x plus 1
zu b): $f(x)=e^{-x}+1$ geht rechts gegen die Waagerechte $y=1$

Die Zuhaltemethode

Da für $x\rightarrow-\infty$ alle Terme $e^{m\,x+b}$ gegen 0 gehen bei denen $m\gt0$ ist
und für $x\rightarrow+\infty$ alle Terme $e^{m\,x+b}$ gegen 0 gehen bei denen $m\lt0$ ist, kann man die Asymptote am Funktionsterm dadurch bestimmen, dass man alle solchen Terme zuhält.
Ist der Rest, der nicht zugehalten wurde eine lineare Funktion ($m\,x+b$) so ist dies die lineare Asymptote.
Genauer:>
Beispiele:
  1. Bei $f(x)=e^{2x-1}+e^{x}-2x-3$ erhält man:
    • durch zuhalten aller $e^{-x}$-Terme $y=e^{2x-1}+e^{x}-2x-3$ und da dies keine lineare Funktion ist, hat man für $x\rightarrow+\infty$ keine Asymptote.
    • durch zuhalten aller $e^{x}$-Terme $y=-2x-3$ und da dies eine lineare Funktion ist, hat man für $x\rightarrow-\infty$ die Asymptote $y=-2x-3$.
  2. Bei $f(x)=e^{-x}+e^{x}-x$ erhält man:
    • durch zuhalten aller $e^{-x}$-Terme $y=e^{x}-x$ und da dies keine lineare Funktion ist, hat man für $x\rightarrow+\infty$ keine Asymptote.
    • durch zuhalten aller $e^{+x}$-Terme $y=e^{-x}-x$ und da dies keine lineare Funktion ist, hat man für $x\rightarrow-\infty$ keine Asymptote.
Schaubild und Asymptote von f
Schaubild von $f(x)=e^{2x-1}+e^{x}-2x-3$
und seine Asymptote $y=-2x-3$