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Eine Schachtel

Aus einem Blech (Maße $10cm\times 16cm$) soll eine Schachtel ohne Deckel gefertigt werden.
Hierzu werden in den Ecken Quadrate herausgestanzt und dann die Seiten an den gepunkteten Linien nach oben gefaltet.
Die Seiten werden danach zusammen geschweißt.
Gesucht ist die Schachtel mit dem maximalem Volumen.
Bei solch offenen Fragen kann man seine Fähigkeiten zum Problemlösen nutzen.
Skizze des Blechs in dem die Quadrate in den Ecken x lang sind, die Seiten sind 16 und 10 lang.
Skizze (nicht maßstabsgetreu)
Hinweis 1 Stelle eine Funktion für das Volumen auf.
Die Variable ist hierbei die Seitenlänge des herausgestanzten Quadrats (in der Skizze das $x$).
Hinweis 2 Das Volumen eines Quaders (der Schachtel) ist $V=a\cdot b\cdot h$.
Bestimme für $a,b$ und $h$ einen Term in Abhängigkeit von $x$.
Zwischenergebnis Die Seitenlängen sind:
$a=16-2\cdot x$
$b=10-2\cdot x$
$h=x$

Somit ist $V(x) = (16-2\,x)(10-2\,x)\,x$
Schaubild
Graph von V(x)
Graph von $V(x)$.
Hinweis 3 Am Schaubild kann man das Maximum ablesen.
Wie kann man mit einer Wertetabelle im WTR überprüfen, ob dies tatsächlich das Maximum ist?
Zusatzfragen
  1. Warum sind die Nullstellen der Funktion bei $x=0$, $x=5$ und $x=8$?
  2. Was bedeutet es wenn der Graph unter der $x$-Achse ist?
  3. Machen negative $x$-Werte hier Sinn?
  4. Warum ist die Funktion rechts von $x=8$ wieder positiv?
  5. Was ist ein sinnvoller Definitionsbereich von $V(x)$?
  6. Welchen Wertebereich hat man für diesen Definitionsbereich?