Radioaktivität

Aufgabe 1

Harte β-Strahlen werden zu 80% in einer 1,00 $mm$ dicken Aluminiumschicht absorbiert.

Stellen Sie eine geeignete Formel auf, mit der man den nicht absorbierten Anteil der $\beta$-Strahlung in Abhängigkeit von der durchstrahlten Schichtdicke berechnen kann.

Ansatz: $f(x)=ae^{bx}$ mit $f(0)=1$ und $f(1)=0{,}8$
Somit hat man $a=1$.
Mit $f(1)=0{,}2$ (80% absorbiert, also 20% nicht) erhält man:
$\begin{array}{rcll} e^{b} &=& 0{,}2 &\ |\ ln(\dots)\\ b &=& -1{,}609 \end{array}$

Funktion: $f(x)=e^{-1{,}609x}$
Bei welcher Schichtdicke werden 50% absorbiert?

$f(x)=0{,}5$
Bei welcher Schichtdicke dringt noch 1% durch?

$f(x)=0{,}01$ (1%=0,01 sind nicht absorbiert)
Welcher Anteil der Strahlung wird von einer 0,50 mm dicken Aluschicht verschluckt?

$f(0{,}5)=\ldots$ liefert wie viel nicht absorbiert wird, also gibt uns $1-f(0{,}5)$ das Ergebnis.

Aufgabe 2

Uran hat eine Halbwertszeit von 4,5 Milliarden Jahren.

Wie viel Prozent einer Uranmenge sind nach 10 Milliarden, nach einer Milliarde, nach einer Million bzw. nach 1000 Jahren noch vorhanden?
- Nach 10 Mrd Jahren: $21{,}4\%$
- Nach 1 Mrd Jahren: $85{,}7\%$
- Nach 1 Million=$0{,}001$ Mrd Jahren: $99{,}98\%$
- Nach 1000 Jahren = $0{,}9996668\approx 100\%$
Wie lange dauert es, bis 90% der Uranmenge zerfallen sind?

Restmenge: $1-0{,}9=0{,}1$
$0{,}1=e^{-0{,}154x}$
$x=\frac{\ln(0{,}1)}{-0{,}154}=14{,}95$ Milliarden Jahre.

Aufgabe 3

Radium 226 hat eine Halbwertszeit von 1590 Jahren.
Radium ist ein Gas und wie jedes Gas hat es $22,414$ mol/Liter.
Ein Mol sind $6{,}022 \cdot 10^{23}$ Teilchen (hier Atome).
Ein Mol Radium Ra$_{226}$ wiegt 226g.
Keine Sorge erst mal rechnen wir mit Gramm.

Wie viel zerfällt von 10g Radium in 2000 Jahren?

Die Funktion hat den Anfangswert $10g$ und da $f(1590)=5g$ ist (eine Halbwertszeit) ergibt sich \[ f(x)= 10e^{-0{,}000436x} \] Nach 2000 Jahren zerfällt somit: $f(2000)=10e^{-0{,}000436\cdot2000}=4{,}18g$ also bleiben 4,18g übrig und es sind 5,82g zerfallen.
Wie lange muss man warten, bis nur noch 0,10 g von den 10g übrig sind?

Ansatz: $0{,}1g=10e^{-0{,}000436x}$
Lösung: $x=10\;562$ Jahre
Wie viel Halbwertszeiten sind das?
Wie viele Radiumatome befinden sich in einer Probe von einem Milligramm?
Wie viele Radiumkerne zerfallen bei dieser Probe in der ersten Sekunde?

$226g$ Radium sind 1mol somit sind $1mg=0{,}001g$ genau $\frac{0{,}001}{226}$mol und somit $\frac{0{,}001}{226}6{,}022\cdot10^{23}$ Atome.
In etwa also $2{,}66\cdot 10 ^{18}$ Atome.

Die Halbwertszeit sind 1590 Jahre, also $1590\cdot365\cdot24\cdot60\cdot60s = 5{,}014224\cdot10^{10}s$

Der Anfangswert ist $a=f(0)=2{,}66\cdot 10 ^{18}$ und nach 1590 Jahren haben wir nur noch die Hälfte, also $f(5{,}014224\cdot10^{10})=\frac{2{,}66\cdot 10 ^{18}}2$.

Wachstumsfunktion:
$\begin{array}{rcll} \frac{2{,}66\cdot 10 ^{18}}2 &=& 2{,}66\cdot 10 ^{18}e^{5{,}014224\cdot10^{10}b} &\ |\ :2{,}66\cdot 10 ^{18}\\[3mm] \frac{1}2 &=& e^{5{,}014224\cdot10^{10}b} &\ |\ \ln(\dots)\\[3mm] -0{,}69315 &=& 5{,}014224\cdot10^{10}b &\ |\ : 5{,}014224\cdot10^{10}\\[3mm] b&=& -1{,}38236\cdot 10^{-11} \end{array}$

Somit erhalten wir: $f(x)=2{,}66\cdot 10 ^{18}e^{-1{,}38236\cdot 10^{-11} x}$
In der ersten Sekunde zerfallen $2{,}66\cdot 10 ^{18}-f(1)$ Teilchen:
$2{,}66\cdot 10 ^{18}-2{,}66\cdot 10 ^{18}=0$ Teilchen.
Mit mehr Nachkommastellen kommt man auf $f(1)= 2\,659\,999\,999\,963\,229\,224\approx 2{,}659\cdot 10^{18}$
und auf $36\,770\,775$ zerfallene Atome.