Bevölkerungswachstum

1. Beschreiben Sie mit Hilfe dieser Daten das Wachstum der Erdbevölkerung durch eine geeignete Exponentialfunktion.
   Lösung
   
   Ansatz: $f(x)=ae^{b\cdot x}$ mit $P_0(1930\mid 2\,015\,000)$ und $P_1(1960\mid 3\,010\,000)$
   also gilt:
   Ansatz: $f(1930)=2\,015\,000$ (Punktprobe mit $P_0$)
   Ansatz: $f(1960)=3\,010\,000$ (Punktprobe mit $P_1$)
   

   Teilt man beide Gleichungen durcheinander, erhält man $b$:
   

   $\begin{array}{rcl} \frac{3\,010\,000\,000}{2\,015\,000\,000}&=&\dfrac{ae^{1960b}}{ae^{1930b}}\\ %\dfrac{602}{403}&=&\frac{e^{1960b}}{e^{1930b}}\\ \frac{602}{403}&=&e^{1960b-1930b}\\ \frac{602}{403}&=&e^{30b}\\ \ln\left(\frac{602}{403}\right)&=&30b\\ \dfrac{\ln\left(\frac{602}{403}\right)}{30}&=&b\\ b&=&0{,}013377\\ \end{array}$

   
   $b$ und $P_0$ in $f(x)$ einsetzen ergibt $a$:
   

   $\begin{array}{rcl} 2\,015\,000\,000&=&ae^{1930\cdot 0{,}013377}\\ 2\,015\,000\,000&=&ae^{25{,}81761}\\ 2\,015\,000\,000&=&a\cdot 163\,096\,844\,600\\ a&=&0{,}01235\\ \end{array}$

   
   

   Somit ist: $f(x)=0{,}01235e^{0{,}013377x}$
2. Wie viele Menschen hätten demnach 1950 gelebt? (Tatsächlicher Wert : 2,509 Mrd.)
   Eine solche Berechnung heißt Interpolation.
   Lösung
   
   $f(1950)=2\,632\,107\,740$
   

   Interpolation bedeutet hier, dass wir zwischen unseren zwei Messpunkten liegen.
   Da wir die Jahre 1930 und 1960 als Ausgangsdaten haben, liegt 1950 zwischen diesen Werten.
   Die Vorsilbe inter bedeutet (da)zwischen wie in:

   • international - zwischen Nationen
   • intervenieren - dazwischen gehen
   • interkulturell - zwischen Kulturen
   • intergalaktisch - zwischen Galaxien
   • Inerpunktion, Interpretation, Interview, ...
3. Wie viele Menschen hätten demnach 2005 gelebt? (Tatsächlicher Wert : 6,477 Mrd.)
   Eine derartige Berechnung heißt Extrapolation.
   Lösung
   
   $f(2005)=5\, 493\, 249\, 348$
   

   Extrapolation bedeutet hier, dass wir außerhalb unseren zwei Messpunkten rechnen.
   Die Vorsilbe extra bedeutet außerhalb (der Ordnung) wie in:

   • Extraausgabe
   • extravagant
   • Extrawurst
   • Extrablatt
4. Welche Werte liefert die (sehr gewagte) Extrapolation auf die Jahre 0 und 3000 ?
   Lösung
   
   Im Jahr 0 hätten wir $f(0)=0{,}01235\lt 1$. Es wären also weniger als ein Mensch.
   Wieso können wir mit unserer schönen Funktion nicht so weit zurückrechnen und vernünftige Ergebnisse erhalten? Wie gut sind eigentlich unsere Ausgangsjahre gewählt?
   
   Im Jahr 3000 hätten wir: $f(3000)=3\;313\;895\;512\;000\;000 = 3{,3}$Billiarden
   Das wären $3\,314$ Milliarden. Ein wenig viel. Warum wird es so nicht kommen?
5. Wann haben nach unserem Modell zwei Milliarden, eine Milliarde, nur Adam und Eva gelebt?
   Lösung
   
   • $2\;000\;000\;000 = 0{,}01235e^{0{,}013377x} \Rightarrow \ln\left(\frac{2\;000\;000\;000}{0{,}01235}\right)/0{,}013377 = x \Rightarrow x=1929{,45}$\\
   • $1\;000\;000\;000 = 0{,}01235e^{0{,}013377x} \Rightarrow \ln\left(\frac{1\;000\;000\;000}{0{,}01235}\right)/0{,}013377 = x \Rightarrow x=1877{,65}$\\
   • $2 = 0{,}01235e^{0{,}013377x} \Rightarrow \ln\left(\frac{2}{0{,}01235}\right)/0{,}013377 = x \Rightarrow x=380{,3}$

   Im Jahr 380 A.D. wären es also zwei Menschen gewesen...
6. Wann wird die 10-Milliarden-Grenze erreicht?
   Lösung
   
   $\begin{array}{rcll} 10\;000\;000\;000 &=& 0{,}01235e^{0{,}013377x} & \ |\ :0{,}01235\\ \frac{10\;000\;000\;000}{0{,}01235} &=& e^{0{,}013377x} & \\ 809\,716\,599\,190 &=& e^{0{,}013377x} & \ |\ \ln(\dots)\\ 27{,}41996 &=& 0{,}013377x & \ |\ :0{,}013377\\ 2\,049{,}78 &=& x \end{array}$
   
   Somit wäre Mitte 2049 die 10-Milliarden-Grenze erreicht.
   Wird das so passieren? Was wirkt sich auf die Geburtenrate, Lebenserwartung etc. aus?
7. In welchem Zeitraum verdoppelt sich nach dem Modell jeweils die Erdbevölkerung?
   Lösung
   
   Wachstumsfunktionen haben immer einen konstanten Faktor. Um diesen zu bestimmen kann man zwei aufeinanderfolgende Funktionswerte durcheinander teilen oder man überprüft, wann sich den Anfangswert verdoppelt hat.

   Der Anfangswert bei $f(x)=0{,}01235e^{0{,}013377x}$ ist der Vorfaktor $0{,}01235$.
   Das Doppelte ist $2\cdot 0{,}01235=0{,}0247$.
   Jetzt müssen wir das $x$ finden, für das gilt: $f(x)=0,0247$.
   Wenn man es ausrechnet erhält man eine Verdoppelung alle $51{,}816$ Jahre.