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Lineare Funktionen aufstellen

$\newcommand{\degree}{^\circ}$
Aufgabe 1 - Temperaturen In Großbritannien und den USA werden Temperaturen in Grad Fahrenheit ($\degree F$) gemessen.
Die Umrechnung in $\degree C$ erfolgt linear. $0\degree C=32\degree F$ und $100\degree C=212\degree F$.
  1. Stellen Sie den Zusammenhang zwischen $\degree F$ und $\degree C$ in einem Diagramm dar
    ($\degree C$ auf der $x$-Achse, $\degree F$ auf der $y$-Achse).
    Hinweis 1 In der Aufgabenstellung sind zwei Punkte gegeben, wenn sie diese in ein Koordinaten-System einzeichnen und dann eine Linie durch beide Punkte ziehen erhalten sie das Diagramm.
    Hinweis 2 So, so, es klappt noch nicht. Also wenn die $x$-Achse die $\degree C$ angibt und die $y$-Achse die $\degree F$, dann hat man das Achsenkreuz.
    Da $0\degree C=32\degree F$ sind ist $P(0\mid 32)$ ein Punkt auf dem Schaubild.
    Den anderen finden sie jetzt sicher in der Aufgabenstellung.
  2. Wie lautet die Funktionsgleichung, die den $\degree C$ Werten $\degree F$ Werte zuordnet.
    Hinweis Da wir zwei Punkte gegeben haben, brauchen wir die Zwei-Punkte-Form oder wir bestimmen zuerst die Steigung und setzten diese und einen der Punkte in die allgemeine Geradengleichung ein.
  3. Lesen Sie am Diagramm ab und berechnen Sie:
    1. Wie viele Grad Fahrenheit sind $20\degree C, 37\degree C, 120\degree C$
      Hinweis Zum Ablesen gehen wir hier von der $x$-Achse nach oben (bis zum Schaubild) und lesen dann an der $y$-Achse den zugehörigen Fahrenheit-Wert ab.
    2. Wie viele Grad Celsius sind $15\degree F, 150\degree F, -10\degree F$
      Hinweis Zum Ablesen gehen wir hier von der $y$-Achse waagerecht bis zum Schaubild und lesen dann an der $x$-Achse den zugehörigen Celsius-Wert ab.

Aufgabe 2 - eine Regentonne Eine zylinderförmige Regentonne ist 90cm hoch und hat einen Radius von 40cm.
Sie wird mit einem Schlauch gefüllt, aus dem gleichmäßig Wasser fließt.
Nach 4min steht das Wasser 44cm, nach 7min 62cm hoch.
  1. Wann ist die Regentonne voll?
    Hinweis 1 Wann die Tonne voll ist, ist mathematisch ausgedrückt:
    $f(x)\stackrel ? = 90$
    Da die Tonne 90cm hoch ist, ist $f(x)$ die Funktion, die den Wasserstand nach $x$ Minuten angibt.
    Hinweis 2 Die Gleichung für den Wasserstand kann mit den Angaben ermittelt werden.
    Die Aufgabe gibt für zwei Zeitpunkte den Wasserstand an.
    Somit hat man zwei Punkte...
  2. War die Tonne anfangs leer?
    Hinweis Ob die Tonne zu Beginn leer ist, ist mathematisch ausgedrückt:
    $f(0)\stackrel ? = 0$
  3. Wie viel Liter pro Minute fließen aus dem Schlauch?
    Hinweis 1 Das ist etwas kniffelig.
    Wir wissen, dass die Steigung unserer Funktion angibt, um wie viele Zentimeter sich der Wasserstand in einer Minute ändert.
    Hinweis 2 Wenn wir wissen welchen Radius die Tonne hat und wie viele Zentimeter in einer Minute hinzukommen, können wir das Volumen dieses Zuwachses bestimmen.
    Hinweis 3 Es ist ein Zylinder und der hat ein Volumen von $V=G\cdot h$ mit $G=\pi\cdot r^2$.

Aufgabe 3 - Winkel Die Gerade $g$ hat einen Steigung von $\frac23$ und schneidet die Gerade $f$ im Punkt $S(-2|1)$.
Die Geraden $g$ und $f$ schließen einen Winkel von $45\degree$ ein.
  1. Zeichnen Sie ein Schaubild der beiden Geraden (ohne die Gleichung aufzustellen).
    Hinweis 1 Für $g$ haben wir einen Punkt (als erstes einzeichnen) und die Steigung (von $S$ aus abtragen).
    Hinweis 2 Für $f$ haben wir den Punkt $S$. Wenn wir in diesem Punkt die 45° von $g$ aus abmessen, können wir die Gerade für $f$ einzeichnen.
  2. Messen Sie den Steigungswinkel von $f$.
    Hinweis Entweder am Schnittpunkt von $f$ mit der $x$-Achse messen oder
    von einer Waagerechten zu $f$ messen.
  3. Berechnen Sie die Funktionsgleichungen $g(x)$ und $f(x)$ der beiden Geraden.
    Hinweis 1 Für $g$ haben wir die Steigung $\frac23$ und den Punkt $S(-2|1)$, das sollte gehen.
    Hinweis 2 Für $f$ haben wir den Punkt $S(-2|1)$.
    Den Steigungswinkel kann man ermitteln indem man vom Schnittwinkel (45°) den Steigungswinkel von $g$ abzieht.
    Wenn wir uns erinnern, dass $m=\tan(\alpha)$ ist, dann müssen wir den Steigungswinkel nur noch in $m$ umrechnen.

Aufgabe 4 - ideales Gas Weil das Gasvolumen von der Temperatur abhängt, kann man ideale Gase (z.B. Helium) zur Temperaturmessung verwenden. Eine Messung von Temperatur und Volumen hat folgende Werte ergeben:
$\begin{array}{l||c|c|c|c} t\ (\text{in}\ \degree C) &0 &50 &100 &150 \\\hline V\ (\text{in}\ cm^3) &5 &5{,}91 &6{,}83 &7{,}74 \\ \end{array}$
  1. Leiten Sie aus den Messwerten einen Term ab, der einen linearen Zusammenhang von Gasvolumen und Temperatur bestätigt.
    Hinweis 1 Wir haben viele Punkte gegeben, nehmen wir also zwei und bestimmen die Steigung.
    Den $y$-Achsenabschnitt können wir direkt aus der Tabelle entnehmen (wenn man weiß wo).
    Hinweis 2 Der lineare Zusammenhang ist gegeben, wenn alle Punkte auf der Geraden liegen.
    Wir haben ja nur zwei Punkte genommen, also testen wir die anderen Punkte.
    Da es Messwerte sind kann es zu leichten Abweichungen kommen.
  2. Bestimmen Sie die Volumina für folgende Temperaturen: $-50\degree C, -120\degree C, -200\degree C$.
    Hinweis Wir haben den Term aufgestellt und haben jetzt Temperaturen gegeben.
    Durch Einsetzten erhalten wir das Volumen.
  3. Wo schneidet die zugehörige Gerade die $t$-Achse?
    Welche Bedeutung hat dieser Schnittpunkt?
    Hinweis Beim Schnitt mit der $t$-Achse ist das Volumen des Gases 0.
    Da es nicht kleiner werden kann ist dies der absolute Nullpunkt, also die kälteste Temperatur die möglich ist.
  4. Die allgemeine Gasgleichung lautet: $V = V_0+(V_0/273,14)t$
    Um wie viel Prozent weicht der ermittelte Steigungswert vom Literaturwert ab?
    Hinweis $V_0$ ist das Volumen bei 0°C.