Lage zweier Geraden

Wenn zwei Geraden in einem Schaubild sind, so können sie sich

schneiden - d.h. sie haben genau einen Punkt gemeinsam
parallel sein - d.h. sie haben die gleiche Steigung und schneiden sich nie
identisch sein - d.h. sie haben die gleiche Steigung und den gleichen $y$-Achsenabschnitt. Somit sind sie gleich und schneiden sich in jedem Punkt.

Egal wie zwei Geraden zueinander liegen, man beginnt immer damit, dass man die Funktionsterme gleichsetzt.
Hat die Gleichung

genau eine Lösung, so schneiden sich die Geraden
keine Lösung, so sind sie parallel
unendlich viele Lösungen, ist also immer wahr (wie $0=0$, $3=3$, etc.) so sind sie identisch

Wenn man die Funktionsterme gleich gesetzt hat, kann man die Gleichung nach $x$ auflösen und bekommt so den $x$-Wert des Schnittpunkts.
Den $y$-Wert des Schnittpunkts bekommt man indem man das berechnete $x$ in eine der beiden Geraden einsetzt.

zwei Geraden mit einem Schnittpunkt — Die zwei Geraden schneiden sich
in $P(1\mid 2)$

zwei parallele Geraden — Zwei parallele Geraden

zwei identische Geraden — Zwei identische Geraden
Da sie "übereinander liegen"
sehen sie aus wie eine.

Gegeben:	$f(x)=4x-2$ und $g(x)=-2x+4$
Gesucht:	Schnittpunkt von $f(x)$ und $g(x)$
Ansatz:	$f(x)=g(x)$
Lösung:	$\begin{array}{rcll} f(x) &=& g(x) & \| \text{Terme einsetzen}\\ 4x-2&=&-2x+4 & \| +2\\ 4x &=&-2x+6 & \| +2x\\ 6x &=& 6 & \| :6\\ x &=&1 \end{array}$
$y$-Wert:	$y=f\left(1\right)$ $y=4\cdot 1-2$ $y=2$
Schnittpunkt:	$P\left(1\|2\right)$

Gegeben:	$f(x)=2x-1$ und $g(x)=2x+1$
Gesucht:	Lage der Graphen von $f(x)$ und $g(x)$
Ansatz:	$f(x)=g(x)$
Lösung:	$\begin{array}{rcll} f(x) &=& g(x) & \| \text{Terme einsetzen}\\ 2x-1&=&2x+1 & \| +1\\ 2x &=&2x+2 & \| -2x\\ 0 &=& 2 & \| \text{unlösbar}\\ \end{array}$

Die Gleichung $0=2$ ist unlösbar (immer falsch), daher hat die Gleichung $f(x)=g(x)$ keine Lösung.
Somit schneidet die Gerade von $f(x)$ nie die Gerade von $g(x)$. Somit müssen sie parallel sein.

Gegeben:	$f(x)=\frac42x+1$ und $g(x)=2x+1$
Gesucht:	Lage der Graphen von $f(x)$ und $g(x)$
Ansatz:	$f(x)=g(x)$
Lösung:	$\begin{array}{rcll} f(x) &=& g(x) & \| \text{Terme einsetzen}\\ \frac42x+1&=&2x+1 & \| -1\\ \frac42x&=&2x & \| \text{kürzen}\\ 2x&=&2x & \| -2x\\ 0 &=& 0 & \| \text{immer wahr}\\ \end{array}$

Die Gleichung $0=0$ ist immer wahr (egal was $x$ ist), daher hat die Gleichung $f(x)=g(x)$ unendlich viele Lösungen.
Somit ist die Gerade von $f(x)$ und die Gerade von $g(x)$ identisch.