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Taschenrechner

Funktionswerte berechnen

Bester Weg:

Funktion eingeben (mit x) z.B. $x^2-\frac12x+1$
calc-Taste drücken
Wert für $x$ eingeben
$y$-Wert ablesen

Funktionen zeichnen

Mit Menu6 in das Wertetabelle-Menü gehen und Funktion eingeben.

Ansätze

Schnitt mit der $y$-Achse

Da für die $y$-Achse gilt: $x=0$ hat der Schnittpunkt mit der $y$-Achse des Schaubilds von $f(x)$ den $x$-Wert 0.
Der Ansatz um $y$-Schnitt zu berechnen ist also 0 in $f(x)$ einzusetzen: $y=f(0)$.

Schnitt mit der $x$-Achse (Nullstellen)

Da für die $x$-Achse gilt: $y=0$ hat die Nullstelle des Schaubilds von $f(x)$ den $y$-Wert 0.
Der Ansatz um Nullstellen zu berechnen ist also: $f(x)=0$.
Diese Gleichung muss dann nach $x$ aufgelöst werden.

Schnittpunkt zweier Funktionen

Für einen Schnittpunkt von $f(x)$ und $g(x)$ gilt, dass die $x$ und $y$-Werte gleich sind.
Der Ansatz ist immer gleichsetzen: $f(x)=g(x)$ und dann nach $x$ umformen.
Es ist das selbe wie die Nullstellen der Differenz. Das heißt man bringt $g(x)$ auf die andere Seite und erhält: $f(x)-g(x)=0$.

Somit kann man alle Rechentechniken für Nullstellen auch bei der Berechnung von Schnittpunkten anwenden.

Polynomfunktionen

Geraden (Polynome vom Grad 1)

Die Normalform einer linearen Funktion ist: $f(x)=m\cdot x+b$.
Hierbei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.
Das Schaubild einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Schnitt mit den Koordinatenachsen

Es gibt zwei Koordinatenachsen: die $x$-Achse und die $y$-Achse.
Auf der $y$-Achse ist $x=0$, darum ist $S(0|f(0))$ der Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
Setzt man in eine Geradengleichung $f(x)=m\cdot x+b$ für $x$ den Wert 0 ein, so erhält man $f(0) = m\cdot 0 + b$ und da $m\cdot 0=0$ ist bleibt $f(0)=b$ übrig.

Der Schnittpunkt einer Geraden $f(x)=mx+b$ mit der $y$-Achse ist also immer $S(0|b)$.

Beispiele

Die Gerade $f(x)=4x-2$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0|-2)$.
Die Gerade $f(x)=x+3$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0|3)$.
Die Gerade $f(x)=-2x+0,1$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0|0,1)$.

Auf der $x$-Achse gilt $y=0$. Um den Schnittpunkt einer Geraden mit der $x$-Achse zu bekommen setzt man $f(x)=0$.
Bei einer Geraden bekommt man also die Gleichung: $m\cdot x+b = 0$. Diese Gleichung muss man nach $x$ umstellen, so erhält man die Nullstelle.
Da Geradengleichungen sehr einfach sind kann man auch eine Formel dafür verwenden: $x=-\dfrac{b}{m}$.
Der $x$-Wert heißt Nullstelle und der zugehörige Punkt $N(x|0)$ ist der Schnittpunkt mit der $x$-Achse.
Ist die Steigung m=0, so ist die Gerade parallel zur $x$-Achse und schneidet sie nicht.

Beispiel (Nullstelle von $f(x)=4x-2$)

Gegeben:	$f(x)=4x-2$
Gesucht:	Nullstelle von $f(x)$
Ansatz:	$f(x)=0$
Lösung:	$\begin{array}{rcll} 4x-2&=&0&\|+2\\ 4x &=&2&\|:4\\ x &=&\dfrac12 \end{array}$

Nullstellen von Geraden berechnen (50 Aufgaben)

Schnitt zweier Geraden

Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu ermitteln setzt man sie gleich und berechnet zuerst den $x$-Wert des Schnittpunkts.
Den $y$-Wert des Schnittpunkts bekommt man indem man das berechnete $x$ in eine der beiden Geraden einsetzt.

Beispiel (Schnittpunkt zweier Geraden)

Gegeben:	$f(x)=4x-2$ und $g(x)=-2x+4$
Gesucht:	Schnittpunkt von $f(x)$ und $g(x)$
Ansatz:	$f(x)=g(x)$
Lösung:	$\begin{array}{rcll} f(x) &=& g(x) & \| \text{Terme einsetzen}\\ 4x-2&=&-2x+4 & \| +2\\ 4x &=&-2x+6 & \| +2x\\ 6x &=& 6 & \| :6\\ x &=&1 \end{array}$
$y$-Wert:	$y=f\left(1\right)$ $y=4\cdot 1-2$ $y=2$
Schnittpunkt:	$P\left(1\|2\right)$

Übungen zum Schnitt zweier Geraden (90 Aufgaben).

Aufstellen einer Geradengleichung mit $m$ und einem Punkt

Hat man die Steigung $m$ und einen Punkt $P(x|y)$ gegeben, so kann man die Geradengleichung aufstellen,
indem man alles in die Geradengleichung $f(x)=mx+b$ einsetzt und $b$ bestimmt.

Beispeiel: Gegeben: $m=3$ und $P(-2|-1)$
Lösung: Einsetzten in $f(x)=mx+b$ ergibt:
$\begin{array}{rcll} -1 &=& 3\cdot (-2)+b & | \text{ zusammenfassen}\\ -1 &=& -6+b & | +6\\ 5 &=& b & \\ \end{array}$
Somit ist $b=5$ und $m=3$ und die Geradengleichung $f(x)=3x+5$

Aufstellen von Geraden mit Steigung und Punkt (100 Aufgaben)

Aufstellen einer Geradengleichung mit zwei Punkten

Sind zwei Punkte $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ auf einer Geraden gegeben, so ist die Steigung $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
Nachdem man $m$ bestimmt hat, stellt man die Geradengleichung mittels $m$ und einem der Punkte auf (z.B. $P$).

Aufstellen von Geraden mit zwei Punkten (100 Aufgaben)
Aufstellen von Geraden beide Fälle(100 Aufgaben)

Alle Übungsaufgaben zu Geraden

Nullstellen von Geraden berechnen (50 Aufgaben)
Übungen zum Schnitt zweier Geraden (90 Aufgaben).

Aufstellen von Geraden mit Steigung und Punkt (100 Aufgaben)
Aufstellen von Geraden mit zwei Punkten (100 Aufgaben)
Aufstellen von Geraden beide Fälle(100 Aufgaben)

Geraden vom Schaubild ablesen (∞ Aufgaben)

Parabeln (Polynome vom Grad 2)

Formen einer Parabelgleichung

Ein Polynom 2. Grades wird in der

Normalform als $f(x)=ax^2+bx+c$
Produktform als $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$
Scheitelform als $f(x)=a(x-x_s)^2+y_s$

angegeben.
Das Schaubild heißt Parabel.

In die Normalform umwandeln

Von der Produktform in die Normalform:
Geg: $f(x)= 3(x-2)(x+4)$
Ges: $f(x)=ax^2+bx+c$
Lösung:
$\begin{array}{rll} f(x)=& 3(x-2)(x+4) & | \text{ Klammern ausmultiplizieren}\\ f(x)=& 3(x^2-2x+4x-2\cdot 4) & | \text{ zusammenfassen}\\ f(x)=& 3(x^2+2x-8) & | \text{ ausmultiplizieren}\\ f(x)=& 3x^2+6x-24 & \\ \end{array}$
Am Ende haben wir die Normalform mit $a=3$, $b=6$ und $c=-24$.

Von der Scheitelform in die Normalform:
Geg: $f(x)= 2(x-1)^2+4$
Ges: $f(x)=ax^2+bx+c$
Lösung:
$\begin{array}{rll} f(x)=& 2(x-1)^2+4 & | \text{ Binom ausmultiplizieren}\\ f(x)=& 2(x^2-2x+1)+4 & | \text{ ausmultiplizieren }\\ f(x)=& 2x^2-4x+2 +4 & | \text{ zusammenfassen}\\ f(x)=& 2x^2-4x+6& \\ \end{array}$
Am Ende haben wir die Normalform mit $a=2$, $b=-4$ und $c=6$.

Scheitelform in Normalform umwandeln (100 Aufgaben).

Schnitt mit den Koordinatenachsen

Der Schnitt mit der $y$-Achse ist (wie immer) $S(0|f(0))$.

Die Nullstellen bekommt man, indem man $f(x)=0$ setzt und nach $x$ auflöst.
Hier gibt es grundsätzlich 3 Fälle mit zugehöriger Rechentechnik:

$ax^2+c=0$ Hier formt man nach $x$ um und bekommt $x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.
Wenn der Wert unter der Wurzel kleiner 0 ist gibt es keine Lösung.

Nullstellen von $f(x)=ax^2+c$ (50 Aufgaben)
$ax^2+bx=0$ Hier klammert man $x$ aus und erhält $x(ax+b)=0$.
Mit dem Satz des Nullprodukts ist die erste Lösung $x_1=0$ und die zweite liefert die Gleichung $ax+b=0$.

Nullstellen von $f(x)=ax^2+bx$ (50 Aufgaben)
$ax^2+bx+c=0$ Hier benötigt man die Mitternachtsformel: $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Ist der Wert unter der Wurzel kleiner 0, so gibt es keine Lösung.
Ist der Wert unter der Wurzel gleich 0, so gibt es eine (doppelte) Lösung.
Ist der Wert unter der Wurzel größer 0, so gibt es zwei (einfache) Lösungen.

Nullstellen von $f(x)=ax^2+bx+c$ (50 Aufgaben)

Nullstellen von Parabeln - alle Fälle (200 Aufgaben)
Nullstellen von Parabeln, ein Drittel hat keine, ein Drittel hat eine und ein Drittel hat 2 Nullstellen (90 Aufgaben)

Liegt der Funktionsterm nicht in der Normalform vor, so kann man die Nullstellen schneller bestimmen.
Wie das geht erfahrt ihr in diesen Videos:

Scheitel einer Parabeln bestimmen

Wie man den Scheitel aus der Scheitelform abliest, sieht man schon im Video über die Formen einer Parabelgleichung.
Bei der Normalform ist der Scheiltelpunkt bei $x=\dfrac{-b}{2a}$, den $y$-Wert erhält man entweder indem man $x$ in die Funktion einsetzt oder mit der Formel $y=c-\dfrac{b^2}{4a}$.

Wie man den Scheitel der Produktform erklärt dieses Video:

Schnittpunkte von Parabeln mit Parabeln und Geraden

Schneidet man eine Parabeln $f(x)$ mit einer anderen Parabel $g(x)$, so erhält man bis zu 2 Schnittpunkte.
Um die $x$-Werte der Schnittpunkte zu bestimmen, geht man wie immer vor:
Gleichsetzen: $f(x)=g(x)$, dann alles auf eine Seite bringen und weitermachen wie bei der Nullstellen-Berechnung.
Den $y$-Wert des Schnittpunktes bekommt man, indem man die ermittelten $x$-Werte in $f(x)$ einsetzt (oder in $g(x)$, denn es kommt das selbe heraus).

Schnitt von Parabeln und Geraden (100 Aufgaben)
Schnitt von Parabeln mit Parabeln und Geraden (220 Aufgaben)

Alle Übungsaufgaben zu Parabeln

Scheitelform in Normalform umwandeln (100 Aufgaben).
Nullstellen von Parabeln, ein Drittel hat keine, ein Drittel hat eine und ein Drittel hat 2 Nullstellen (90 Aufgaben)
Schnitt von Parabeln und Geraden (100 Aufgaben)
Schnitt von Parabeln mit Parabeln und Geraden (220 Aufgaben)

Nullstellen von $f(x)=ax^2+c$ (50 Aufgaben)
Nullstellen von $f(x)=ax^2+bx$ (50 Aufgaben)
Nullstellen von $f(x)=ax^2+bx+c$ (50 Aufgaben)
Nullstellen von Parabeln - alle Fälle (200 Aufgaben)

Parabeln mittels Scheitel- und Produktform aufstellen (60 Aufgaben)

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen haben die Form $f(x)=x^n$, wobei $n$ eine ganze Zahl ist.
Für $n=1$ erhalten wir $f(x)=x$ also eine Ursprungsgerade.
Für $n=2$ erhalten wir $f(x)=x^2$ also die Normalparabel.
Für $n=3$ erhalten wir $f(x)=x^3$.
Für $n=4$ erhalten wir $f(x)=x^4$.
Mehr dazu gibt es in diesem Video:

Wenn man Potzenzfunktionen kombiniert erhält man Polynome. Geraden und Parabeln sind Polynomfunktionen.

Polynome vom Grad 3

Ein Polynom hat den Grad 3, wenn die größte Hochzahl 3 ist.
Bsp: $f(x)= 3x^3+2x^2+1$ ist vom Grad 3.

Nullstellen

Es gibt keine allgemeine Formel für Polynome 3. Grades, daher benötigt man für das Lösen der Gleichung $f(x)=0$ ein paar Rechentechniken:

$0=x^3+8$ kann man durch umformen lösen:
$\begin{array}{rcll} 0&=&x^3+8& | -8\\ -8&=&x^3 & | \sqrt[3]{\dots}\\ -2&=&x \end{array}$
Errinnere dich: Die dritte Wurzel kann man aus negativen Zahlen ziehen und sie hat nur eine Lösung.

Allgemein $0=ax^3+d$ einfach umformen

Nullstellen von Polynomen $f(x)=ax^3+d$ (100 Aufgaben)
$0=x^3-2x^2+x$ kann man durch ausklammern und dem Satz des Nullprodukts lösen:
$\begin{array}{rcll} 0&=&x^3-2x^2+x& |\ x \text{ ausklammern}\\ 0&=&(x^2-2x+1)x & | \text{ Satz vom Nullprodukt}\\ \end{array}$
Entweder ist $x^2-2x+1=0$ oder $x=0$, die erste Gleichung ist eine Parabel und die können wir lösen (es kommt $x=1$ raus) und die zweite Gleichung $x=0$ ist eine weitere Lösung.
Allgemein $0=ax^3+bx^2+cx$ ausklammern von $x$

Nullstellen von Polynomen $f(x)=ax^3+bx^2+cx$ (100 Aufgaben)
$0=x^3-2x^2$ löst man auch durch ausklammern, wobei man hier sogar $x^2$ ausklammern kann:
$0=(x-2)x^2$, liefert die Lösung 2 (aus $x-2=0$) und die doppelte Lösung 0 aus $x^2=0$.
Allgemein $0=ax^3+bx^2$ ausklammern von $x^2$

Nullstellen von Polynomen $f(x)=ax^3+bx^2$ (100 Aufgaben)
Wenn man eine Gleichung wie: $0=3x^3+x^2+4$ lösen muss, sollte man seinen Rechenweg nochmals überprüfen, da man so eine Gleichung nicht (mit Schulwissen) lösen kann.
Daher hat man sich wahrscheinlich vorher schon mal verrechnet...

Nullstellen von Polynomen 3.Grades - alle Fälle (200 Aufgaben)

Schnittpunkte

Um Schnittpunkte von Polynomen 3.Grades mit anderen Polynomen zu berechnen, setzt man beide Funktionen gleich.
Dann bringt man alles auf eine Seite und berechnet $x$ wie bei der Nullstellen-Berechnung.
Für den $y$-Wert setzt man die $x$-Werte in eine der beiden Funktionen ein.

Übungen:
Schnittpunkte Polynomen 3.Grades und Gerade (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 3.Grades und Parabel (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 3.Grades und 3.Grades (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 3.Grades - alle Fälle (200 Aufgaben)

Alle Übungsaufgaben zu Grad 3

Nullstellen von Polynomen $f(x)=ax^3+d$ (100 Aufgaben)
Nullstellen von Polynomen $f(x)=ax^3+bx^2$ (100 Aufgaben)
Nullstellen von Polynomen $f(x)=ax^3+bx^2+cx$ (100 Aufgaben)
Nullstellen von Polynomen 3.Grades - alle Fälle (200 Aufgaben)

Schnittpunkte Polynomen 3.Grades und Gerade (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 3.Grades und Parabel (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 3.Grades und 3.Grades (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 3.Grades - alle Fälle (200 Aufgaben)

Polynome vom Grad 4

Ein Polynom hat den Grad 4, wenn die größte Hochzahl 4 ist.
Bsp: $f(x)= 2x^4-4x^2+2$ ist vom Grad 4.

Nullstellen

Es gibt keine allgemeine Formel für Polynome 4. Grades, daher benötigt man für das Lösen der Gleichung $f(x)=0$ ein paar Rechentechniken:

$0=x^4-16$ kann man durch umformen lösen:
$\begin{array}{rcll} 0&=&x^4-16& | -8\\ 16&=&x^4 & | \sqrt[4]{\dots}\\ \pm2&=&x \end{array}$
Errinnere dich: Die vierte Wurzel kann man nur aus positiven Zahlen oder 0 ziehen und sie hat zwei Lösung (plus und minus).

Allgemein $0=ax^4+d$ einfach umformen

Nullstellen von $f(x)=ax^4+d$ (100 Aufgaben)
$0=x^4-2x^3+x^2$ kann man durch ausklammern und dem Satz des Nullprodukts lösen:
$\begin{array}{rcll} 0&=&x^4-2x^3+x^2& |\ x \text{ ausklammern}\\ 0&=&(x^2-2x+1)x^2 & | \text{ Satz vom Nullprodukt}\\ \end{array}$
Entweder ist $x^2-2x+1=0$ oder $x^2=0$, die erste Gleichung ist eine Parabel und die können wir lösen (es kommt $x=1$ raus) und die zweite Gleichung $x^2=0$ ist eine weitere Lösung (mit $x=0$).
Allgemein
$0=ax^4+bx^3+cx^2+dx$ ausklammern von $x$
$0=ax^4+bx^3+cx^2$ ausklammern von $x^2$
$0=ax^4+bx^3$ ausklammern von $x^3$

Nullstellen Polynom 4.Grades $x^2$ ausklammern (100 Aufgaben)
Nullstellen Polynom 4.Grades $x^3$ ausklammern (100 Aufgaben)
Gleichungen der Form $0=ax^4+bx^2+c$ löst man mit Substitution (Ersetzen).
Beachte: Man hat nur gerade Hochzahlen (4, 2 und 0).
Hierbei ersetzt man $x^2$ mit $u$ und bekommt:
$0=au^2+bu+c$
Diese Gleichung ist eine quadratische Gleichung mit $u$ und man kann sie z.B. mit der Mitternachtsformel lösen.
Die Lösung der quadratischen Gleichung liefert Lösungen für $u$.
Setzt man wieder $x^2$ für $u$ ein, erhält man Lösungen für $x$. Dies nennt man Resubstitution.

Beispiel: Nullstellen von $f(x)=x^4-3x^2-4$
$\begin{array}{rcll} 0&=&x^4-3x^2-4& |\text{ ersetze }x^2\text{ mit } u\\ 0&=&u^2-3u-4& \\ u_{1,2}&=& \dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2}\\ u_{1,2}&=& \dfrac{3\pm\sqrt{25}}{2}\\ u_1 &=& 4 \\ u_2 &=& -1\\ \end{array}$
Resubstitution von $u_1$: $x^2=4$ also $x_{1,2}=\pm\sqrt{4}$
Die ersten beiden Lösungen sind $x_1=-2$ und $x_2=2$

Resubstitution von $u_2$: $x^2=-1$ keine Lösung, da $\sqrt{-1}$ nicht existiert.

Nullstellen Polynom 4.Grades mit Substitution (100 Aufgaben)
Wenn man eine Gleichung wie: $0=-2x^4+7x^2+x+4$ lösen muss, sollte man seinen Rechenweg nochmals überprüfen, da man so eine Gleichung nicht (mit Schulwissen) lösen kann.
Daher hat man sich wahrscheinlich vorher schon mal verrechnet...

Nullstellen von Polynomen 4.Grades - alle Fälle (250 Aufgaben)

Schnittpunkte

Um Schnittpunkte von Polynomen 4.Grades mit anderen Polynomen zu berechnen, setzt man beide Funktionen gleich.
Dann bringt man alles auf eine Seite und berechnet $x$ wie bei der Nullstellen-Berechnung.
Für den $y$-Wert setzt man die $x$-Werte in eine der beiden Funktionen ein.
Wem es auffällt: Schnittpunkte berechnet man immer so...

Übungen:
Schnittpunkte Polynomen 4.Grades und waagerechter Gerade (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 4.Grades und Gerade (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 4.Grades und Parabel (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 4.Grades und Polynom 3.Grades (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 4.Grades und Polynom 4.Grades (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 4.Grades - alle Fälle (250 Aufgaben)

Alle Übungsaufgaben zu Grad 4

Nullstellen von $f(x)=ax^4+d$ (100 Aufgaben)
Nullstellen Polynom 4.Grades $x^2$ ausklammern (100 Aufgaben)
Nullstellen Polynom 4.Grades $x^3$ ausklammern (100 Aufgaben)
Nullstellen Polynom 4.Grades mit Substitution (100 Aufgaben)
Nullstellen von Polynomen 4.Grades - alle Fälle (250 Aufgaben)

Schnittpunkte Polynomen 4.Grades und waagerechter Gerade (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 4.Grades und Gerade (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 4.Grades und Parabel (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 4.Grades und Polynom 3.Grades (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 4.Grades und Polynom 4.Grades (100 Aufgaben)
Schnittpunkte Polynomen 4.Grades - alle Fälle (250 Aufgaben)

Verschieben und strecken/stauchen von Polynomfunktionen

Geraden verschieben (100 Aufgaben)
Parabeln verschieben (100 Aufgaben)
Polynome vom Grad 3 verschieben (100 Aufgaben)
Polynome vom Grad 4 verschieben (100 Aufgaben)
Polynome verschieben - wild durchgemischt (200 Aufgaben)
Polynome in $y$-Richtung stauchen/strecken (100 Aufgaben)
Polynome in $x$-Richtung stauchen/strecken (100 Aufgaben)
Polynome in $y$-Richtung verschieben und stauchen/strecken (100 Aufgaben)
Polynome in $x$-Richtung verschieben und stauchen/strecken (100 Aufgaben)

Aufstellen von Polynomfunktionen

Exponential-Funktionen

Einstieg

Nullstellen und Schnitt

Nullstellen von $e$ - nur Fall 1 umformen (100 Aufgaben)
Nullstellen von $e$ - nur Fall 2 ausklammern (100 Aufgaben)
Nullstellen von $e$ - nur Fall 3 Substitution (100 Aufgaben)
Nullstellen von $e$ - alle Fall (200 Aufgaben)

Asymptoten

Asymptoten sind Geraden, an die sich $f(x)$ annähert, wenn $x$ sehr groß wird ($x\rightarrow \infty$) oder sehr klein wird ($x\rightarrow -\infty$).
Hält man alle $e$ mit positivem Vorfaktor vor dem $x$ zu und erhält eine Gerade so ist diese Gerade eine Asymptote für kleine $x$ ($x\rightarrow -\infty$).
Hält man alle $e$ mit negativem Vorfaktor vor dem $x$ zu und erhält eine Gerade so ist diese Gerade eine Asymptote für große $x$ ($x\rightarrow \infty$).
Bsp: $f(x)= e^{3x}+2x+1$ hat die Asymptote $y=2x+1$ für kleine $x$.
$f(x)=2e^{-4x}+x-4$ hat die Asymptote $y=x-4$ für große $x$.
$e$-Funktionen mit waagerechter Asymptote (100 Aufgaben)
$e$-Funktionen mit schiefer Asymptote (100 Aufgaben)
$e$-Funktionen ohne Asymptote (100 Aufgaben)
$e$-Funktionen Asymptoten alle Fälle (120 Aufgaben)