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Bernoulli

Hat ein Experiment genau 2 Ergebnisse (z.B. $A, \bar A$)
mit $P(A)=p$ und $P(\bar A)=q=(1-p)$, so spricht man von einem Bernoulli-Experiment.
Beispiel:
  1. Wurf einer Münze
  2. Werfen einer 6 mit Würfel ($p=\frac16$ und $q=\frac56$).
  3. krank oder gesund
  4. Sieg oder Niederlage
Erwartungswert: $E(X)=p$
Varianz: $\sigma^2 = p\cdot q$

Bernoulli-Kette

Wenn man ein Bernoulli-Experiment mehrstufig ausführt, nennt man dies eine Bernoulli-Kette.
Hierbei sind die einzelnen Experimente stochastisch unabhängig.
Wird ein Bernoulli-Experiment $n$-mal ausgeführt und man will wissen wie wahrscheinlich $k$ Erfolge sind.
So ist die Wahrscheinlichkeit: \[P(X=k) = \vekII{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\] Erwartungswert: $E(X)=n\cdot p$
Varianz: $\sigma^2(X)=n\cdot p\cdot q$
Eine Bernoulli-Kette ist binomial verteilt mit $B_{n,p}(k)$.
Mit WTR: Casio fx-87DE CW:
Home → Verteilungen → Binom. Verteilung → Liste oder Einzelwert
Dann für $k$ die Erfolgsanzahl,
für $n$ die Anzahl der Durchführungen
und für $p$ die Erfolgswahrscheinlichkeit eingeben
Einzelwert liefert eine Wkt
Bei Liste können mehrere $k$-Werte eingegeben werden, nach EXE auf einem leeren Eintrag kann $n$ und $p$ eingegeben werden.
Man erhält zu jedem $k$-Wert dann die Wkt als Liste
Beispiele
  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 10 Würfen genau vier 6er zu würfeln?
    $p=\frac16, n=10, k=4$
    $B_{10,\frac16}(4) = \vekII{10}{4}\left(\frac16\right)^4\left(1-\frac16\right)^{10-4}$
    WTR: Home → Verteilungen → Binom. Verteilung → Einzelwert
    $k=4; n=10; p=1/6$ $p=0{,}0543\,\hat=\, 5{,}43\%$
  2. Wie hoch ist die Wkt bei 10 Würfen höchstens vier 6er zu würfeln?
    $B_{10,\frac16}(0)+B_{10,\frac16}(1)+B_{10,\frac16}(2) +B_{10,\frac16}(3)+B_{10,\frac16}(4)$
    Mit Binom.Verteilung und Liste 0,1,2,3,4:
    $0{,}1615+0{,}323+0{,}2907+0{,}155+0{,}054=0{,}9842$
    Mit Kumul.Binom.-V:
    Home → Verteilungen → Kumul. Binom. V. Einzelwert
    $k=4$; $n=10$; $p=1/6$
    $0{,}9842$
Die binomial Verteilung liefert die Wkt für eine feste Erfolgszahl $P(X=k)$.
Die kumulative Binomialverteilung addiert alle Wkts auf und liefert $P(X\leq k)$.
Casio fx-87DE CW: Home → Verteilungen → Kumul. Binom. V.
Bedingung Term mit WTR
genau $k$ $P(X=k)$ normal
höchstens $k$ $P(X\leq k)$ kumulativ
weniger als $k$ $P(X\lt k)$ $P(X\leq k-1)$ kumulativ
mehr als $k$ $P(X\gt k)$ $1-P(X\leq k)$ kumulativ
mindestens $k$ $P(X\geq k)$ $1-P(X\leq k-1)$ kumulativ
zwischen $a$ und $b$ $P(a\leq X\leq b)$ $P(X\leq b)-P(X\lt a)$
$P(X\leq b)-P(X\leq a-1)$ 		kumulativ
Eine Münze wird 100 mal geworfen ($B_{100,\frac12}(k)$).
Wappen ist der Erfolg.
  1. ganau 50:
    $P(X=50) = 7{,}959\%$
  2. maximal 50:
    $P(X\leq 50) = 53{,}979\%$
  3. 50 oder mehr:
    $P(X\geq 50) = 1-P(X\leq 49) =1-0{,}46021= 53{,}979\%$
  4. zwischen 40 und 60:
    $P(40\leq X \leq 60)= P(X\leq 60)- P(X\leq 39) = \\0{,}9824-0{,}0176=0{,}9648=96{,}48\%$