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Nullstellen des Kosinus

Die Gleichung $\cos(x)+d = 0$ hat
  • zwei Lösungen, wenn $-1\lt d\lt 1$ gilt, also wenn $d$ zwischen -1 und 1 liegt.
  • eine Lösung, wenn $d=-1$ oder $d=1$ ist.
  • keine Lösung, wenn $d\lt-1$ oder $d\gt 1$ ist.
Der Kosinus hat unendlich viele Nullstellen. Der Taschenrechner liefert immer nur die erste Nullstelle $x_0$.
Da der Kosinus symmetrisch zur $y$-Achse ist, bekommt man die zweite Nullstelle in der Periode mit $-x_0$.
Beispiel:
$f(x)=\cos(\pi x)$ hat die erste Nullstelle bei $\cos^{-1}(0)=\frac\pi2$.
Die zweite Nullstelle liegt bei $-\frac\pi2$.

Nullstellen von $y$ verschobenem Kosinus

Ist der Kosinus in $y$-Richtung verschoben, so ergibt sich die Nullstelle durch Nullsetzen.
Formt man $\cos(x)+d=0$ um, erhält man $\cos(x)=-d$.
Die erste Lösung in einer Periode erhält man mittels seiner Umkehrfunktion $\cos^{-1}(-d)$, die zweite mittels $-\cos^{-1}(-d)$.
Das kann man zu $\pm\cos^{-1}(-d)$ zusammenfassen:
Beispiel:
$\begin{array}{rcll} \cos(x)-\frac12 &=& 0 & \ |\ -\frac12 \\ \cos(x) &=& \frac12 & \ |\ \pm\cos^{-1}(\dots) \\ x &=& \pm\cos^{-1}(\frac12) \\ x_1 &=& \phantom{-}\frac{\pi}{3}\\ x_2 &=& -\frac{\pi}{3} \end{array}$
Einheitskreis um 90° gedreht und Schaubild Kosinus für 60°
Einheitskeis (um 90° gedreht) für $cos(x)=\frac12$.
Bogenmaß in rot, Kosinuswert in orange.
Jede Gleichung $\cos(x)=c$ hat zwei Lösungen in einer Periode, nämlich $x_{1,2}=\pm\cos^{-1}(c)$.
Weitere Lösungen erhält man, indem man die Periodenlänge zu $x_1$ bzw. $x_2$ hinzuaddiert.

Nullstellen der allgemeinen Kosinus-Funktion

Die Funktion $f(x)=a\cdot\cos(b(x+c))+d$ ist in $x$ und $y$ Richtung gestreckt und verschoben.
Die Berechnung der Nullstellen läuft aber genau gleich wie bei allen Gleichungsumformungen.
Nur bei der Anwendung von $\cos^{-1}$ müssen wir ein $\pm$ verwenden:
$\begin{array}{rcll} a\cdot\cos(b(x+c))+d &=& 0 & \ |\ -d \\ a\cdot\cos(b(x+c)) &=& -d & \ |\ :a \\ \cos(b(x+c)) &=& -\frac da & \ |\ \pm\cos^{-1}(\dots) \\ b(x+c) &=& \pm\cos^{-1}(-\frac da) & \ |\ :b \\ x+c &=& \pm\frac{\cos^{-1}(-\frac da)}b & \ |\ -c \\ x &=& \pm\frac{\cos^{-1}(-\frac da)}b-c & \\ \end{array}$
Beispiele:
  1. Gesucht sind die Nullstellen von $f(x)=2\cos(3x-1)+1$
    Lösung:
    $\begin{array}{rcll} 2\cos(3x-1)+1&=&0 & |-1\\ 2\cos(3x-1)&=&-1 & |:2\\ \cos(3x-1)&=&-\frac12 & | \pm\cos^{-1}\\ 3x-1 &=& \pm\frac{2\pi}3 & \\ 3x-1 &=& -\frac{2\pi}3 & |\text{ 1. Lösung}\\ 3x-1 &=& \phantom{-}\frac{2\pi}3 & |\text{ 2. Lösung}\\ \end{array}$
    Beide Lösungen nach $x$ umformen
    $\begin{array}{rcl|crcl} 3x-1 &=& -\frac{2\pi}3 & & 3x-1 &=& \frac{2\pi}3 \\ 3x &=& -\frac{2\pi}3+1 & & 3x &=& \frac{2\pi}3+1 \\ x_1 &=& -\frac{2\pi}9+\frac13 & & x_2 &=& \frac{2\pi}9+\frac13 \\ \end{array}$
    Somit sind in einer Periode die Nullstellen:
    $x_1=-\frac{2\pi}9+\frac13 \approx -0{,}3648\ $ und
    $x_2=\phantom{-}\frac{2\pi}9+\frac13\approx \phantom{-}1{,}0315$
    Weitere Nullstellen bekommt man, indem man zu $x_1$ und $x_2$ eine Periode ($\frac{2\pi}3$) hinzuaddiert.
Schaubild von 2 cos( 3x-1)+1
Schaubild von $f(x)$
  1. Gesucht sind die Nullstellen von $f(x)=-3\cos(\pi x)+1$
    Lösung:
    $\begin{array}{rcll} -3\cos(\pi x)+1&=&0 &|-1\\ -3\cos(\pi x) &=&-1 &|:(-3)\\ \cos(\pi x) &=&\frac13 &| \pm\cos^{-1}\\ \pi x &=& \pm\cos^{-1}(\frac13) & \\ \pi x &=& -1{,}231 & |\text{ 1. Lösung}\\ \pi x &=& \phantom{-}1{,}231 & |\text{ 2. Lösung}\\ \end{array}$
    Beide Lösungen nach $x$ umformen
    $\begin{array}{rcl|crcl} \pi x &=& -1{,}231 & & \pi x &=& 1{,}231 \\ x_1 &=& -0{,}392 & & x_2 &=& 0{,}392 \\ \end{array}$
    Somit sind in einer Periode die Nullstellen:
    $x_1=-0{,}392 $ und
    $x_2=0{,}392$
    Weitere Nullstellen bekommt man, indem man zu $x_1$ und $x_2$ eine Periode ($\frac{2\pi}\pi = 2$) hinzuaddiert.
Schaubild von -3 mal cos(pi mal x) plus 1
Schaubild von $f(x)$ mit berechneten Nullstellen (schwarz) und Nullstellen eine Periode weiter (rot)
  1. Gesucht sind die Nullstellen von $f(x)=\frac12\cos(x-3)-1$
    Lösung:
    $\begin{array}{rcll} \frac12\cos(x-3)-1 &=& 0 &|+1\\ \frac12\cos(x-3) &=& 1 &|\cdot 2\\ \cos(x-3) &=& 2 &|\pm\cos^{-1}\\ x-3 &=&\pm\cos^{-1}(2) \end{array}$
    Keine Lösung, da $\cos^{-1}(2)$ unlösbar ist.
    Man sieht es schneller daran, dass die $y$-Verschiebung betragsmäßig größer als die Amplitude ist.
    Es wird um $-1$ verschoben (also eins nach unten), bei einer Amplitude von $\frac12$.
    Und es ist $|-1|\gt \left|\frac12\right|$.
Schaubild von ein Halb mal cos(x-3) minus 1
Schaubild von $f(x)$ hat keine Nullstellen
  1. Gesucht sind die Nullstellen von $f(x)=\cos(x)+1$
    Lösung:
    $\begin{array}{rcll} \cos(x)+1 &=& 0 & |-1\\ \cos(x) &=& -1 & | \pm\cos^{-1}\\ x &=&\cos^{-1}(-1) \\ x &=&-\pi & |\text{ 1. Lösung}\\ x &=&\phantom{-}\pi & |\text{ 2. Lösung}\\ \end{array}$
    Somit sind in einer Periode die Nullstellen:
    $x_1=-\pi\approx -3{,}1415 $ und
    $x_2=\phantom{-}\pi\approx \phantom{-}3{,}1415$
    Weitere Nullstellen bekommt man, indem man zu $x_1$ und $x_2$ eine Periode ($2\pi$) hinzuaddiert.
    Hier fällt auf, dass die erste Nullstelle $x_1=-\pi$ genau eine Periodenlänge vor $x_2=\pi$ liegt ($-\pi+2\pi = \pi$).
    Also hat man pro Periode nur eine Nullstelle, dies ist eine doppelte Nullstelle.
    Man sieht es schneller daran, dass die Amplitude und die Verschiebung in $y$-Richtung gleich sind (beide sind 1).
Schaubild von cos(x) plus 1
Schaubild von $f(x)$