Eine Ebenengleichung kann man aus unterschiedlichen Angaben herleiten:
- Einem Punkt $P$ und zwei Vektoren $\vec v_1$ und $\vec v_2$
Hier ist die Ebenengleichung $E:\; \vec x= \overrightarrow{OP} + s\cdot \vec v_1+ k\cdot \vec v_2$
- Ein Punkt $Q$ und eine Gerade $g:\; \vec x = \overrightarrow{OP} + s\cdot \vec v$.
Hier ist der Aufpunkt entweder $Q$ oder $P$ und die Richtungsvektoren sind $\vec v$ und $\overrightarrow{PQ}$
Die Ebenengleichung ist also:
$E:\; \vec x= \overrightarrow{OP} + s\cdot \vec v + k\cdot \overrightarrow{PQ}$
- Zwei sich schneidenden Geraden
$g_1:\; \vec x = \vec p_1 + s\cdot \vec v_1$ und
$g_2:\; \vec x = \vec p_2 + s\cdot \vec v_2$
Hier nimmt man den Aufpunkt einer Geraden (egal welchen)
und die zwei Richtungsvektoren der Geraden:
$E:\; \vec x= \vec p_1 + s\cdot \vec v_1+ k\cdot \vec v_2$
- Drei Punkte: $P_1, P_2$ und $P_3$
Einen der Punkte nimmt man als Aufpunkt (egal welchen).
Die zwei Richtungsvektoren sind die Vektoren von einem Punkt zum anderen
(z.B. $\overrightarrow{P_1P_2}$
und $\overrightarrow{P_1P_3}$ ).
Es ergibt sich also die Ebenengleichung:
$E:\; \vec x= \overrightarrow{OP_1}+ s\cdot \overrightarrow{P_1P_2}+ k\cdot \overrightarrow{P_1P_3}$ oder
$E:\; \vec x= \overrightarrow{OP_1}+ s\cdot \overrightarrow{P_2P_3}+ k\cdot \overrightarrow{P_2P_1}$ oder
$E:\; \vec x= \overrightarrow{OP_2}+ s\cdot \overrightarrow{P_1P_2}+ k\cdot \overrightarrow{P_2P_3}$ oder
$E:\; \vec x= \overrightarrow{OP_3}+ s\cdot \overrightarrow{P_2P_1}+ k\cdot \overrightarrow{P_3P_1}$ oder ...
- Zwei parallele Geraden
$g_1:\; \vec x = \vec p_1 + s\cdot \vec v_1$ und
$g_2:\; \vec x = \vec p_2 + s\cdot \vec v_2$
Hier nimmt man den Aufpunkt einer Geraden (egal welchen) und einen der Richtungsvektoren.
Der zweite Richtungsvektor ist der Vektor zwischen den Aufpunkten $\vec p_1-\vec p_2$:
$E:\; \vec x= \vec p_1 + s\cdot \vec v_1+ k\cdot (\vec p_1-\vec p_2)$