Die Projektion eines Punktes $P$ in die Koordinatenebene
$x_2x_3$
erfolgt indem man $x_1$ in $P$ auf 0 setzt. $P_{23}=\pkt{0}{p_2}{p_3}$
$x_1x_3$
erfolgt indem man $x_2$ in $P$ auf 0 setzt. $P_{13}=\pkt{p_1}{0}{p_3}$
$x_1x_2$
erfolgt indem man $x_3$ in $P$ auf 0 setzt. $P_{12}=\pkt{p_1}{p_2}{0}$
Die Projektion entspricht dem Schattenwurf, wenn Licht von
vorn/hinten, links/rechts bzw. oben/unten auf den Punkt scheint.
Projektion einer Geraden auf Koordiantenebene
Um den Schattenwurf einer Geraden $g:\;\vec x = \vec p+k\vec v$ in einer Koordinatenebene zu bekommen,
projiziert man $\vec p$ und $\vec v$ auf diese
Ebene.
Die so projizierte Gerade entspricht dem Schatten.
Winkel Gerade/Koordinatenebene
Den Winkel zwischen der Koordinatenebene und der Geraden erhält man,
indem man den Winkel $\alpha$ zwischen dem Richtungsvektor $\vec v$ und
dem projizierten Vektor $\vec v_p$ bestimmt.
Sei $\vec v =\vek{x_1}{x_2}{x_3}$ der Richtungsvektor
dann ist der Winkel
mit der $x_1x_2$-Ebene:
$\alpha = \cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{x_1^2+x_2^2\;}}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2\;}}\right)$
$= \cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}{|\vec v|}\right)$
mit der $x_1x_3$-Ebene:
$\beta=\cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{x_1^2+x_3^2\;}}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2\;}}\right)$
$=\cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{x_1^2+x_3^2}}{|\vec v|}\right)$
mit der $x_2x_3$-Ebene:
$\gamma=\cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{x_2^2+x_3^2\;}}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2\;}}\right)$
$=\cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{x_2^2+x_3^2}}{|\vec v|}\right)$
mit der $x_nx_m$-Ebene:
$\cos(\varphi)
=\dfrac{x_n^2+x_m^2}{|\vec v|\cdot \sqrt{x_n^2+x_m^2\;} }$
$=\dfrac{\sqrt{x_n^2+x_m^2\;}}{|\,\vec v\,|}
$