Normalenform in Koordinatenform
Wir haben eine Ebene in Normalenform $E:\ (\vec x-\vec p)\cdot \vec n= 0$.
Und wollen die Koordinatenform $E:\ n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3 = a$
Formt man die Normalenform $(\vec x-\vec p)\cdot \vec n= 0$ um
so erhält man $\vec x\cdot \vec n-\vec p\cdot \vec n= 0$.
Bringt man die Konstanten nach rechts, so erhält man:
$\vec x\cdot \vec n = \vec p\cdot \vec n$
$\vec x\cdot \vec n$ ergibt den linken Teil der Koordinatenform $n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3$.
Hier muss man nicht rechnen, sondern man schreibt die Werte aus dem Normalenvektor einfach
vor die $x_i$.
Rechnet man das Skalarprodukt $\vec p\cdot \vec n$ aus erhält man die Zahl auf der
rechten Seite der Koordinatenform.
Zusammmengefasst:
$(\vec x - \vec p)\cdot \vec n = 0 \ra \vec x\cdot \vec n = \vec p\cdot \vec n$ ergibt:
$n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3= \underbrace{n_1\cdot p_1 +n_2\cdot p_2 +n_3\cdot p_3}_{\text{konstant}}
$
Koordinatenform in Normalenform
Wir haben eine Ebene in Koordinatenform $E:\ n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3 = a$
Und wollen die Normalenform $E:\ (\vec x-\vec p)\cdot \vec n= 0$.
Den Normalenvektor $\vec n=\vek{n_1}{n_2}{n_3}$ kann man aus der
Koordinatenform $n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=a$ ablesen.
Es sind die Vorfaktoren von $x_1, x_2$ und $x_3$.
Um den Stützvektor zu bekommen setzen wir zwei $x_i=0$ und lösen nach dem
verbleibenden $x_j$ auf.
Hierbei muss das $n_j$ vor $x_j$ ungleich 0 sein.
Als Stützvektor nimmt man somit:
- $\vekc{a/{n_1}}00$ falls $n_1\neq 0$
- $\vekc0{a/{n_2}}0$ falls $n_2\neq 0$
- $\vekc00{a/{n_3}}$ falls $n_3\neq 0$