Abstände Übersicht
Punkt zu Punkt
Der Abstand von $P$ zu $Q$ ist der Betrag des Vektors $\overrightarrow{PQ}$.
$|\overrightarrow{PQ}| = |\overrightarrow{QP}| = |\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}|$
Punkt zu Gerade
Die erste Möglichkeit
Den Abstand von $P$ zu $g:\ \vec x=\vec a+k\cdot \vec v$ kann man über
$\overrightarrow{Pg}\cdot \vec v=0$ bestimmen.
Die Lösung der Gleichung liefert den Wert für $k$ und somit den
Punkt $Q$ auf der Geraden,
so dass $\overrightarrow{PQ}\perp g$ ist.
Der Abstand ist dann $|\overrightarrow{PQ}|$.
Die zweite Möglichkeit ist die Verwendung einer Hilfsebene.
- Mit $\vec p=\overrightarrow{OP}$ ist $E:\ \big(\vec x-\vec p)\cdot \vec v=0$
senkrecht zu $g$ und enthält $P$.
- Schnittpunkt $Q$ von $E$ und $g$ bestimmen.
- Abstand $=\big|\overrightarrow{QP}\big|$
parallele Geraden
Sind zwei Geraden $g_1, g_2$ parallel, so ist der Abstand
der gleiche wie
der Abstand vom Aufpunkt von $g_1$ zu $g_2$.
Punkt zu Ebene
Der Term $(\vec x-\vec p)\vec n$ gibt den Abstand von $A\pkt{a_1}{a_2}{a_3}$ zur Ebene
an,
wenn $\vec n$ normiert ist. Sonst muss man noch durch $|\vec n|$ teilen.
$d=\left|\dfrac{(\vec a-\vec p)\vec n}{|\vec n|}\right|$
Somit ist der Abstand in Koordinatenform von $A\pkt{a_1}{a_2}{a_3}$ zu
$E:\ n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-b=0$:
$d=\left|\dfrac{n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3-b}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}\right|$
Gerade zu Ebene
Der minimale Abstand einer Geraden $g$ zur Ebene $E$ ist 0, wenn die Gerade
nicht parallel $E$ ist.
Ist $g$ parallel zu $E$ so ist der Abstand vom Aufpunkt von $g$ zu $E$
der Abstand von $g$ zu $E$.
parallele Ebenen
Der Abstand von zwei parallelen Ebenen ist der Abstand von Aufpunkt der
einen Ebene zur anderen Ebene.