Stammfunktion
Die Stammfunktion $F(x)$ wird auch unbestimmtes Integral genannt.
Man erhält $F(x)$ durch integrieren der Funktion $f(x)$.
Integrieren ist die Umkehrung der Ableitung
und wird umgangssprachlich auch
aufleiten genannt.
Man scheibt:
$$F(x)=\int f(x)\, dx$$
Das Symbol $\int$ liest man Integral.
Das $dx$ gibt an, dass $x$ die Variable der Funktion ist.
Es kommt von der Ableitungsschreibweise $f'(x)=\frac{df}{dx}$.
Integrale von Grundfunktionen
| f(x) | F(x) |
|---|
| $c $ | $ c\,x $ |
| $x^n $ | $ (n+1)x^{n+1}$ |
| $e^x $ | $ e^x $ |
| $\sin(x)$ | $ -\cos(x) $ |
| $\cos(x)$ | $ \phantom{-} \sin(x) $ |
Integrationsregeln
Integrationskonstante
Wenn man eine Funktion der Form $f(x)=c$ ableitet, so erhält man $f'(x)=0$.
Bei der Aufleitung von $f'(x)$ kann man diese Konstante nicht mehr herstellen.
Daher ist die Stammfunktion nicht eindeutig, den
$f(x)=2x+1$ hat die Ableitung $f'(x)=2$ und
$g(x)=2x+5$ hat die Ableitung $g'(x)=2$
Daher ist die Stammfunktion $F(x)=\int 2\;dx = 2x+c$.
Die $2x$ sind die Aufleitung der 2. Das $+c$ ist die Integrationskonstante, also die Konstante,
die bei der Ableitung wegfällt.
Dieses $c$ kann nur eindeutig bestimmt werden, wenn man noch einen Punkt auf der Stammfunktion festlegt.
Beispiel
gegeben: $f(x)=3$
gesucht: Die Stammfunktion von $f(x)$ die durch $P(1\mid 2)$ geht.
Lösung:
$F(x)=\int f(x)\; dx = \int 3\;dx = 3x+c$
$P$ einsetzen: $F(1)=2$
$3\cdot 1+c = 2$ ergibt $c=-1$
Die gesuchte Stammfunktion ist: $F(x)=3x-1$
Eigenschaften der Stammfunktion
Da die Stammfunktion $F(x)$ die
Aufleitung der Funktion $f(x)$ ist,
ist $f(x)$ die
Ableitung von $F(x)$. Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:
- $F(x)$ hat ein Extrema, wenn $f(x)$ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat.
- $F(x)$ hat einen Wendepunkt, wenn $f(x)$ ein Extrema hat.
- Die Tangenten-Steigung von $F(x)$ ist immer der Funktionswert von $f(x)$