Binomische Formeln

Die drei Binomischen Formeln zu kennen macht einem im Rechnen schneller und sicherer.
Natürlich kann man Terme wie $(a+b)^2$ auch durch ausmultiplizieren umformen,
denn $(a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)$.

1. Binomische Formel: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
2. Binomische Formel: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
3. Binomische Formel: $(a+b)(a-b) = a^2 -b^2$

Anwendungsbeispiele:

• $(x-1)^2+3 = 0$
  $x^2-2x+1+3 = 0$ (jetzt geht die Mitternachtsformel)
• Wird eine Funktion in Produktform gegeben mit
  $f(x)=4(x-2)(x+2)$
  so kann man die Nullstellen schnell ablesen: $x_1=2$ und $x_2=-2$
  Will man jetzt aber die Fläche berechnen, die die Funktion mit der $x$-Achse einschließt,
  so hat man ein Problem, denn $\int 4(x-2)(x+2)\;dx$ kann man nicht so einfach aufleiten.
  Daher muss man ausmultiplizieren und mit der binomischen Formel ist man schnell fertig:
  $4(x-2)(x+2) = 4(x^2-4) = 4x^2-16$
• Auch ableiten von Funktionen in Produktform ist schwierig:
  $f(x)=2(x+1)^2(x-2)^2$ hat eine doppelte Nullstelle bei $x_1=-1$ und eine doppelte bei $x_2=2$
  aber die Ableitung von $f'(x)$ wird leichter bestimmt, wenn der Funktions-Term Ausmultipliziert ist:
  1. und 2. binomische Formel anwenden: $f(x)=2(x^2+2x+1)(x^2-4x+4)$
  jetzt noch die Klammern ausmultiplizieren: $f(x)=2(x^4-4x^3+4x^2 +2x^3-8x^2+8x +1x^2-4x+4 )$
  und zusammenfassen: $f(x)=2(x^4 -6x^3 -3x^2 +4x +4 )$
  evtl. die 2 reinmultiplizieren: $f(x)=2x^4 -12x^3 -6x^2 +8x +8 $