Bei Polynom-Funktionen in der
Normalform $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$ kann die Symmetrie
leicht abgelesen werden:
- $y$-Achsensymmetrie, wenn nur gerade Exponenten in $f$ sind, also 0, 2, 4, 6, ...
- Ursprungssymmetrie, wenn nur ungerade Exponenten in $f$ sind, also 1, 3, 5, 7, ...
Hat $f$ nur gerade Exponenten, also $f(x)=a_4x^4+a_2x^2+a_0$ dann ist $f(-x) = a_4(-x)^4+a_2(-x)^2+a_0$.
Teilt man jedes $(-x)^n$ in einzelne Faktoren auf, erhält man $(-x)^n=(-1\cdot x)^n=(-1)^n\cdot x^n$.
Da $(-1)^n$ für gerade $n$ immer 1 ist, wird bei geradem $n$ aus jedem $(-x)^n$ wieder $x^n$.
Somit ist $f(-x) = a_4(-x)^4+a_2(-x)^2+a_0 $
$= a_4(-1)^4x^4+a_2(-1)^2x^2+a_0$
$ = a_4x^4+a_2x^2+a_0 =f(x)$
Beweis für ungerade Exponenten:
Hat $f$ nur ungerade Exponenten, also $f(x)=a_5x^5+a_3x^3+a_1x^1$ dann ist $-f(-x) =-(a_5(-x)^5+a_3(-x)^3+a_1(-x)^1)$.
Nun teilt man jedes $(-x)^n$ wieder in Faktoren auf.
$(-1)^n$ ist für ungerade $n$ immer -1. Mit $2k+1 = n$ erhält man $(-1)^{2k+1} = (-1)^{2k}\cdot (-1)^1= 1^k\cdot (-1)=-1$.
Somit ist $-f(-x) = -(a_5(-x)^5+a_3(-x)^3+a_1(-x)^1) $
$= a_5x^5+a_3x^3+a_1x^1 = f(x)$.
Liegt das Polynom $f$ in Produktform vor, so ist $f$ nicht symmetrisch zum Ursprung oder der $y$-Achse,
wenn die Nullstellen nicht paarweise mit unterschiedlichen Vorzeichen auftreten (also -2 und 2, -3 und 3).