Potenzfunktionen

Ist bei einer $f$ mit $f(x)=x^q$ der Exponent $q$ ein Bruch, so ist es eine Wurzelfunktion.
Es gilt $x^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{x^n}$.
Negative Brüche im Exponenten bedeuten den Kehrwert der Funktion. Ist der Zähler des Exponenten $\gt 1$ so wird die Funktion potenziert.
Wir gehen hier nur auf die Potenzen der Form $\frac1n$ ein.

Potenz-Funktionen mit Exponenten $\frac1n$ und ungeradem $n>1$

Alle Potenz-Funktionen mit $\frac1n$ als Exponenten haben viele gemeinsame Eigenschaften, wenn $n$ ungerade und größer 1 ist.
Bei $n=1$ wäre der Exponent ja 1 und somit eine natürliche Zahl.

Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}$
Sie beginnen im 3. Quadranten
Sie enden im 1. Quadranten
Sie gehen durch den Ursprung
Für $x\rightarrow -\infty$ gilt: $f(x)\rightarrow -\infty$
Für $x\rightarrow\infty$ gilt: $f(x)\rightarrow \infty$
Das Schaubild ist ursprungssymmetrisch, d.h.
$f(-x)=-f(x)$
Die Funktion ist stetig, da man sie ohne absetzen zeichnen kann
Die Wertemenge ist $\mathbb{W}=\mathbb{R}$

Schaubild von x hoch ein Drittel — Schaubild von $x^{\frac13}$

Potenz-Funktionen mit dem Exponenten$\frac1n$ und geradem $n\in\mathbb{N}$

Alle Potenz-Funktionen mit $\frac1n$ als Exponenten haben viele gemeinsame Eigenschaften, wenn $n$ gerade ist.

Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D}=\mathbb{R_+}$, d.h. $x\geq 0$
Sie durchlaufen nur den 1. Quadranten
Sie beginnen im Ursprung
Für $x\rightarrow\infty$ gilt: $f(x)\rightarrow \infty$
Die Funktion ist stetig, da man sie ohne absetzen zeichnen kann
Die Wertemenge ist $\mathbb{W}=\mathbb{R}_+$

2 Potenzfunktionen mit den Exponenten ein Halb und ein Viertel — Schaubild von $x^{\frac12}$ und $x^{\frac14}$

Potenz-Funktionen mit Brüchen als Exponenten

Potenz-Funktionen mit Exponenten $\frac1n$ und ungeradem $n>1$

Potenz-Funktionen mit dem Exponenten$\frac1n$ und geradem $n\in\mathbb{N}$