Von der Produktform $f(x)=a(x-n_1)(x-n_2)$ kann man die Nullstellen $N_1(n_1\mid 0)$ und $N_2(n_2\mid 0)$ ablesen.
Aufgrund der Symmetrie der Parabel muss der Scheitel genau zwischen den Nullstellen liegen:
$x_s=\dfrac{n_1+n_2}{2}$
Den Wert für $y_s$ bekommt man am schnellsten, wenn man $x_s$ in $f$ einsetzt: $y_s=f(x_s)$
Alternativ kann man eine Formel herleiten:
$y_s = a(x_s-n_1)(x_s-n_2)$
$y_s = a\left(\frac{n_1+n_2}{2}-n_1\right)\left(\frac{n_1+n_2}{2}-n_2\right)$
$y_s = a\left(\frac{n_2-n_1}{2}\right)\left(\frac{n_1-n_2}{2}\right)$
$y_s = a\frac{(n_2-n_1)(n_1-n_2)}{4}$
$y_s = -a\frac{(n_1-n_2)(n_1-n_2)}{4}$
$y_s = -a\frac{(n_1-n_2)^2}{4}$
Wer will kann sich diese Formel merken, einsetzen von $x_s$ in $f(x)$ geht aber meist genauso schnell.
Formel für $x_s$
$x_s=\dfrac{n_1+n_2}{2}$
Bsp.: Gegeben ist $f(x)=3(x-2)(x+4)$. Geben Sie $f(x)$ in der Produktform an.
$x_s= \dfrac{2+(-4)}{2}=-1$
$y_s= f(-1)=3\left(-1-2\right)\left(-1+4\right) = 3\cdot(-3)\cdot 3 = -27$
also $f(x)=3(x+1)^2-27$
oder:
$y_s = -3\frac{(2-(-4))^2}{4}=-3\frac{6^2}{4}=-3\frac{36}4=-3\cdot{9}=-27$
Bsp.: Nullstellen von $f(x)=2(x-1)^2-8$
$\begin{array}{rcll}
2(x-1)^2-8 &=& 0 & | +8\\
2(x-1)^2 &=& 8 & | :2\\
(x-1)^2 &=& 4 & | \pm\sqrt{\dots}\\
x-1 &=& \pm\sqrt{4} & | -1\\
x &=& -1\pm 2 \\
x_1 &=& 1 \\
x_2 &=& -3 \\
\end{array}$
Somit ist $a=2$, $x_1=1$ und $x_2=-3$, und die Produktform:
$f(x)=2(x-1)(x+3)$
Merke
Formel für Nullstellen der Scheitelform
$x_{1,2}=x_s\pm\sqrt{\dfrac{y_s}{a}}$
Damit kann man einsetzen und erhält
die Produktform aus der Scheitelform:
$f(x)= a\left(x-\left(x_s-\sqrt{\dfrac{y_s}{a}}\right)\right)\left(x-\left(x_s+\sqrt{\dfrac{y_s}{a}}\right)\right)$