Um die Funktionsgleichung einer Parabel von einer Form zur andern umzuwandeln ist nur etwas Termumformung nötig.
Wenn man dies öfters machen muss, lohnt es, sich dafür eine Formel zu merken.
Im Folgenden werden wir Beispiele rechnen und die Formeln herleiten.
Von der Scheitelform zur Normalform
Hat man die Funktion $f(x)=2(x-3)^2+1$ in der Scheitelform und
will sie in die Normalform überführen, so geht man wie folgt vor:
$\begin{array}{ll}
f(x)=2(x-3)^2+1 & |\text{ Binom ausrechnen} \\
f(x)=2(x^2-6x+9)+1 &|\text{ ausmultiplizieren} \\
f(x)=2x^2-12x+18+1 & |\text{ zusammenfassen}\\
f(x)=2x^2-12x+19 &
\end{array}$
Will man eine Formel, um von der Scheitelform in die Normalform
zu kommen, so kann man die Umrechnungsschritte mit Variablen durchführen.
Hier kann man die einzelnen Koeffizienten der Normalform ablesen:
$a=a$
$b=-2ax_s$
$c=ax_s^2+y_s$
Von der Normalform zur Scheitelform
Hier ist $a, b$ und $c$ gegeben und $a, x_s$ und $y_s$ gesucht.
Da $a$ gesucht aber auch gegeben ist, müssen wir $a$ nicht berechnen.
Von oben wissen wir, dass $b=-2ax_s$ ist, formen wir dies nach
$x_s$ um, erhalten wir $x_s=-\frac{b}{2a}$ als Formel.
Mit $c=ax_s^2+y_s$ bekommen wir durch einsetze von $x_s=-\frac{b}{2a}$
eine Formel für $y_s$:
$c=ax_s^2+y_s\Rightarrow c
=a\left( -\frac{b}{2a}\right)^2+y_s
=a\frac{b^2}{4a^2}+y_s
=\frac{b^2}{4a}+y_s$
Wenn wir jetzt $c=\frac{b^2}{4a}+y_s$ nach $y_s$ umformen, ergibt sich:
$y_s=c-\frac{b^2}{4a}$
Merke:
$x_s=-\frac{b}{2a}$
$y_s=c-\frac{b^2}{4a}$
Alternativ kann man die Normalform durch quadratisches Ergänzen in die Scheitelform überführen.
Allerdings ist das Verwenden der Formel in der Regel schneller.