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Parabeln in Produktform aufstellen/ablesen

Wenn die Funktionsgleichung einer Parabel gesucht ist und die Nullstellen $n_1$ und $n_2$, so wie ein weiterer Punkt $P$ gegeben ist, dann ist der beste Ansatz die Produktform der Parabel zu verwenden.
  1. Produktform $y=a(x-n_1)(x-n_2)$ verwenden
  2. $n_1$ und $n_2$ einsetzen
  3. $x$ und $y$ aus dem Punkt $P(x\mid y)$ einsetzen
  4. jetzt kann man $a$ berechnen
  5. fertig
Bsp.:
  1. Geg.: Nullstellen $x_1=-2$ und $x_2=4$ $P(-1\mid 5)$
    Ges.: Die Gleichung der zugehörigen Parabel.
    Lösung:
    Ansatz: $y=a(x-n_1)(x-n_2)$
    $x_{1,2}$ einsetzen: $y=a(x-(-2))(x-4)$
    $P$ einsetzen: $5=a(-1-(-2))(-1-4)$
    $a$ berechnen:
    $\begin{array}{rcll} 5&=&a(-1-(-2))(-1-4) & | \text{ zusammenfassen}\\ 5&=&a(1)(-5) &\\ 5&=&-5a & | :(-5)\\ -1&=&a & \\ \end{array}$
    Einsetzen von $a$ und den Nullstellen:
    $f(x)=-1(x+2)(x-4)$
    fertig
  2. Geg.: Nullstellen $x_1=-3$ und $x_2=2$ $P(1\mid -2)$
    Ges.: Die Gleichung der zugehörigen Parabel.
    Lösung:
    Ansatz: $y=a(x-n_1)(x-n_2)$
    $x_{1,2}$ einsetzen: $y=a(x-(-3))(x-2)$
    $P$ einsetzen: $-2=a(1-(-3))(1-2)$
    $a$ berechnen:
    $\begin{array}{rcll} -2&=&a(1-(-3))(1-2) & | \text{ zusammenfassen}\\ -2&=&a(4)(-1) &\\ -2&=&-4a & | :(-4)\\ \frac12&=&a & \\ \end{array}$
    Einsetzen von $a$ und den Nullstellen:
    $f(x)=\frac12(x+3)(x-2)$
    fertig

Parabel vom Schaubild ablesen

Manchmal ist das Schaubild der Parabel gegeben und man soll die Funktionsgleichung ermitteln.
Wenn in dem Schaubild die Nullstellen und ein weiterer Punkt gut ablesbar sind, dann ist die Produktform der Funktionsgleichung am schnellsten erstellt.
  1. Nullstellen ablesen
  2. Punkt ablesen
  3. weiter wie oben
Bsp.:
  1. Geg.: Das Schaubild
    Parabel mit Nullstellen x=-2 und x=2 und P(1|1)
    Ges.: Die Funktionsgleichung der Parabel.
    Lösung: Nullstellen ablesen: $x_1=-2, x_2=2$; Punkt ablesen: $P(1\mid 1)$
    Ansatz: $y=a(x-x_1)(x-x_2)$
    einsetzen: $1=a( 1-(-2))(1-2)$
    $a$ berechnen:
    $\begin{array}{rcll} 1&=&a( 1-(-2))(1-2) & | \text{ zusammenfassen}\\ 1&=&a(3)(-1) & \\ 1&=&-3a & | :(-3)\\ -\frac13&=&a & \\ \end{array}$
    Einsetzen in die Produktform:
    $f(x)=-\frac13(x+2)(x-2)$
    fertig
  2. Geg.: Das Schaubild
    Parabel mit Nullstellen x=1 und x=4 und P(3|2)
    Ges.: Die Funktionsgleichung der Parabel.
    Lösung: Nullstellen ablesen: $x_1=1, x_2=4$; Punkt ablesen: $P(3\mid 2)$
    Ansatz: $y=a(x-x_1)(x-x_2)$
    einsetzen: $2=a( 3-1)(3-4)$
    $a$ berechnen:
    $\begin{array}{rcll} 2&=&a(3-1)(3-4) & | \text{ zusammenfassen}\\ 2&=&a(2)(-1) & \\ 2&=&-2a & | :(-2)\\ -1&=&a & \\ \end{array}$
    Einsetzen in die Produktform:
    $f(x)=-(x-1)(x-4)$
    fertig