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Produktform ⇄ Normalform
Um die Funktionsgleichung einer Parabel von einer Form zur andern umzuwandeln ist nur etwas Termumformung nötig.
Wenn man dies öfters machen muss, lohnt es, sich dafür eine Formel zu merken.
Im Folgenden werden wir Beispiele rechnen und die Formeln herleiten.
Von der Produktform zur Normalform
Von der Produktform $f(x)=a(x-n_1)(x-n_2)$ zur Normalform zu kommen, muss man nur die Klammern ausmultiplizieren:
Bsp.: Die Parabel $f(x)=2(x-1)(x+3)$ in Normalform überführen:
$\begin{array}{ll}
f(x) = 2(x-1)(x+3) & | \text{ Klammern multiplizieren}\\
f(x) = 2(x^2-x+3x-3) & | \text{ zusammenfassen}\\
f(x) = 2(x^2+2x-3) & | \text{ Klammern multiplizieren}\\
f(x) = 2x^2+4x-6 & | \text{ fertig}\\
\end{array}$
Allgemein
Um eine allgemeine Formel zu bekommen müssen wir $f(x)=a(x-n_1)(x-n_2)$ in die Normalform überführen. Mit den Variablen.
Die Parabel $f(x)=a(x-n_1)(x-n_2)$ in Normalform überführen:
$\begin{array}{ll}
f(x) = a(x-n_1)(x-n_2) & | \text{ Klammern multiplizieren}\\
f(x) = a(x^2-n_1x-n_2x+n_1n_2) & | \text{ zusammenfassen}\\
f(x) = a(x^2-(n_1+n_2)x+n_1n_2) & | \text{ Klammern multiplizieren}\\
f(x) = ax^2-a(n_1+n_2)x+an_1n_2 &\\
\end{array}$
Formeln für die Umwandlung:
$a=a$
$b=-a(n_1+n_2)$
$c=an_1n_2$
Ob man sich diese Formeln merken soll, darf jeder selbst entscheiden, denn ausmultiplizieren sollte jeder können und
das geht fast genau so schnell.
Wer aus der Mittelstufe noch den Satz von Vieta kennt, dem dürften diese Formeln bekannt vorkommen.
Der einzige Unterschied ist, dass sie mit $a$ multipliziert sind.
Von der Normalform zur Produktform
Um von der Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ zur Produktform $f(x)=a(x-n_1)(x-n_2)$ zu kommen,
benötigen wird die Nullstellen von $f(x)=ax^2+bx+c$. Diese erhält man mit
der Mitternachtsformel
$x_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Die Mitternachtsformel heißt eigentlich: Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen, da sie Gleichungen der
From $0=ax^2+bx+c$ löst. Da sie aber derart wichtig ist, dass man sie aufsagen können muss, wenn man um
Mitternacht aus dem Schlaf gerissen wird, nennt man sie auch Mitternachtsformel.
Bsp.:
Geg: $f(x)=2x^2-10x+12$
Ges: Produktform von $f$
Lösung: Nullstellen berechnen
$x_{1,2} = \dfrac{10\pm\sqrt{10^2-4\cdot2\cdot12}}{2\cdot2}$
$x_{1,2} = \dfrac{10\pm\sqrt{100-96}}{4}$
$x_{1,2} = \dfrac{10\pm\sqrt{4}}{4}$
$x_{1,2} = \dfrac{10\pm2}{4}$
$x_1 = 3$ oder $x_2=2$
Somit ist die Produktform von $f(x)=2x^2-10x+12$:
$f(x)=2(x-2)(x-3)$
Herleitung der Mitternachtsformel
Die Mitternachtsformel herzuleiten ist etwas aufwendiger und geht so:
$\begin{array}{ll}
0 = ax^2+bx+c & | :a\\
0 = x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} & | \text{ quadratisch ergänzen mit }\pm\left(\frac{b}{2a}\right)^2\\
0 = {\underbrace{x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2}_{}-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}}& | \text{ Binom zusammenfassen}\\
0 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a} & | +\left(\frac{b}{2a}\right)^2 \quad |-\frac{c}{a}\\
\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a} = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 & | \sqrt{\ldots}\\
\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}} =x+\frac{b}{2a} & | -\frac{b}{2a}\\
x_{1,2} = \frac{-b}{2a}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}& | \text{ verschönern}\\
x_{1,2} = \frac{-b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}\\
x_{1,2} = \frac{-b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\
x_{1,2} = \frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} & | \text{ fertig}\\
\end{array}$