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Parabeln Nullstellen

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind die $x$-Werte von den Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse.

Produktform

Liegt die Funktion in der Produktform vor, so kann man die Nullstellen einfach ablesen oder sie mit dem Satz vom Nullprodukt lösen.
Bsp: Gesucht sind die Nullstellen.
  1. $f(x)=4(x-1)(x-3)$
    Ansatz: $0=4(x-1)(x-3)$
    Die Nullstellen sind $x_1=1$ und $x_2=3$.
    Mit dem Satz vom Nullprodukt zerfällt das Produkt in seine 3 Faktoren und es gilt:
    $0=4$ (keine Lösung)
    $0=x-1 \Rightarrow x=1$
    $0=x-3 \Rightarrow x=3$
  2. $f(x)=2(x-3)^2$
    Da $(x-3)^2=(x-3)(x-3)$ ist, kann man $f$ auch so schreiben: $f(x)= 2(x-3)(x-3)$
    Ansatz: $0=2(x-3)(x-3)$
    Die Nullstelle ist $x=3$ (doppelt).

Scheitelform

Bei der Scheitelform $f(x)=a(x-x_s)^2+y_s$, können die Nullstellen durch Umformen der Gleichung schnell ermittelt werden.
  1. $f(x)=-4(x-1)^2+2$
    Ansatz: $0=f(x)$
    $\begin{array}{rcll} 0&=&f(x) & | \text{ Funktionsterm einsetzen}\\ 0&=&-4(x-1)^2+2 & | -2 \\ -2&=&-4(x-1)^2 & | :(-4) \\ \frac12&=&(x-1)^2 & | \pm\sqrt{\dots} \\ \pm\sqrt{\frac12}&=&x-1 & | +1 \\ 1\pm\sqrt{\frac12}&=&x & \\ \end{array}$

    $x_1 = 1+\sqrt{\frac12}\approx 1{,}71$ und
    $x_2 = 1-\sqrt{\frac12}\approx 0{,}29$
  2. $f(x)=2(x-4)^2+4$
    Ansatz: $0=f(x)$
    $\begin{array}{rcll} 0&=&f(x) & | \text{ Funktionsterm einsetzen}\\ 0&=&2(x-4)^2+4 & | -4 \\ -4&=&2(x-4)^2 & | :2 \\ -2&=&(x-4)^2 & | \pm\sqrt{\dots} \\ \pm\sqrt{-2}&=&x-4 & \end{array}$

    Da Wurzeln nicht aus negativen Zahlen gezogen werden können, gibt es hier keine Lösung.
    Die Parabel schneidet die $x$-Achse nicht.

Normalform

Liegt die Funktionsgleichung der Parabeln in der Normalform vor, ergibt sich aus $f(x)=0$ einer der folgenden Fälle: