Impressum
< Index

Parabelformen und Eigenschaften

Formen

  1. Normalform: $f(x)=ax^2+bx+c$
  2. Scheitelform: $f(x)=a\left(x-x_s\right)^2+y_s$
    Die Werte von $x_s$ und $y_s$ sind die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel: $S(x_s\mid y_s)$
  3. Produktform: $f(x)=a\left(x-n_1\right)\left(x-n_2\right)$
    Die Werte von $n_1$ und $n_2$ sind die Nullstellen der Parabel. Es erschließt sich, wenn man an den Satz vom Nullprodukt denkt.
Man kann jede Parabel in der Normalform und der Scheitelform angeben. Eine Darstellung in Produktform ist nur möglich, wenn die Parabel zwei Nullstellen hat.
eine Parabel
Die Funktion dieser Parabel ist
$f(x)=\frac12(x+3)^2-2$ oder
$f(x)=\frac12(x-1)(x-5)$ oder
$f(x)=\frac12x^2-3x+\frac52$

Der Öffnungsfaktor

6 Parabeln mit unterschiedlichen Öffnungsfaktoren
Parabeln mit den
Öffnungsfaktoren
$-2; -1; -\frac12; \frac12; 1; 2$
In allen Formen der Parabelgleichung findet sich der Öffnungsfaktor $a$. Er gibt mit seinem Vorzeichen an, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. Sein Wert gibt an wie flach oder steil die Parabel ist, je kleiner, desto flacher und je größer, desto steiler.
Der Scheitel einer Parabel ist
  • der höchste Punkt, wenn $a\lt 0$
  • der tiefste Punkt, wenn $a\gt 0$
Der Öffnungsfaktor $a$ ist immer ungleich 0, da $a=0$ bedeutet, dass $f(x)=ax^2+bx+c$ keine Parabel mehr wäre:
Aus $f(x)=ax^2+bx+c$ wird mit $a=0$:
$f(x)=0x^2+bx+c = bx+c$ und das ist eine Gerade.

Symmetrie

Jede Parabel ist achsensymmetrisch zu der Senkrechten $x=x_s$, also zu der Senkrechten durch den Scheitelpunkt.
Da alle Parabeln von $f(x)=ax^2+c$ den Scheitel auf der $y$-Achse haben, sind solche Parabeln $y$-achsensymmetrisch.