Das Skalarprodukt heißt so, weil das Ergebnis des Produkts ein Skalar (eine reelle Zahl) ist.
Das Skalarprodukt ist das Produkt zweier Vektoren: $\vz23\vz14 = 2\cdot 1+3\cdot 4 = 14$.
Hierbei werden die Komponenten der Vektoren multipliziert und diese Produkte addiert:
$\vz{a_1}{a_2}\cdot\vz{b_1}{b_2} = a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2$.
Beispiel: Der Vektor $\vec b=\vz{10}{3}$ gibt die Menge einer Bestellung an.
Jede Komponente steht für ein Produkt $\vec p = \vz{\text{Produkt 1}}{\text{Produkt 2}}$.
Der Preisvektor $\vec g = \vz{1{,}80}{5{,}00}$ gibt die Preise der Produkte an.
Wie berechnet man die Kosten der Bestellung?
Antwort:
Man multipliziert die jeweilige Anzahl mit dem dazugehörigen Preis.
Dies entspricht genau dem Skalarprodukt:
$\vz{10}{3}\cdot \vz{1{,}80}{5{,}00}= 10\cdot 1{,}80 + 3\cdot 5{,}00 = 18+15 = 33$
Den Winkel, den zwei Vektoren $\vec v_1$ und $\vec v_2$ einschließen berechnet man mit:
$\cos(\alpha)=\dfrac{\vec v_1\cdot \vec v_2}{|\vec v_1| \cdot |\vec v_2|}$
Der Zähler ist das Skalarprodukt der Vektoren, der Nenner ist das Produkt der Beträge (also von Zahlen).
Beispiel: Welcher Winkel ist zwischen $\vec v_1=\vz22$ und $\vec v_2=\vz{-1}{3}$?
Lösung:
$\begin{array}{rcl}
\cos(\alpha)&=&\dfrac{\vec v_1\cdot \vec v_2}{|\vec v_1| \cdot |\vec v_2|}\\
&=&\dfrac{\vz22\cdot \vz{-1}{3}}{\left|\vz22\right|\cdot \left|\vz{-1}{3}\right|}\\
&=&\dfrac{2\cdot (-1)+ 2\cdot 3}{\sqrt{2^2+2^2}\cdot \sqrt{(-1)^2+3^2}}\\
&=&\dfrac{4}{\sqrt{8}\cdot \sqrt{10}}\\
&\approx& 0{,}4472
\end{array}$
Somit ist $\cos(\alpha)=0{,}4472$ und $\alpha =63,43^\circ$.
Gegeben die Punkte $A=(a_1|a_2)$ und $B=(b_1|b_2)$.
Sei $\vec a = \overrightarrow{OA}$ und $\vec b = \overrightarrow{OB}$ und $\vec c = \overrightarrow{AB}$.
Die 3 Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ bilden ein Dreieck
mit den Seitenlängen $a=|\vec a|$, $b=|\vec b|$ und $c=|\vec c\,|=\left| B-A \right|$.
Für dieses allgemeine Dreieck gilt der Kosinussatz:
$c^2=a^2+b^2-2\,b\,a\,\cos(\alpha)$
Die Herleitung für die Winkelformel erfolgt indem man die Vektoren in den Kosinussatz einsetzt und
umrechnet:
$\begin{array}{rcll}
\left| B-A \right|^2 &=& \left| \vec a \right|^2+\left| \vec b \right|^2-2\left| \vec b \right| \left| \vec a \right| \cos(\alpha)\\
(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2&=& a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2 -2\left| \vec b \right| \left| \vec a \right| \cos(\alpha)\\
b_1^2-2a_1b_1+a_1^2+b_2^2-2a_2b_2+a_2^2+ &=& a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2 -2\left| \vec b \right| \left| \vec a \right| \cos(\alpha)\\
-2a_1b_1-2a_2b_2 &=& -2\left| \vec b \right| \left| \vec a \right| \cos(\alpha)\\
a_1b_1+a_2b_2 &=& \left| \vec b \right| \left| \vec a \right| \cos(\alpha)\\
\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\left| \vec b \right| \left| \vec a \right|} &=& \cos(\alpha)\\
\end{array}$
Jetzt haben wir auf dem Bruchstrich das Skalarprodukt $a_1b_1+a_2b_2=\vec a\cdot \vec b$.