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Rechnen mit Vektoren

Multiplikation mit einem Skalar

Multipliziert man einen Vektor $\vec v = \vz{x}{y}$ mit einer reelen Zahl $r$ (einem sogenannten Skalar), so wird jede Komponente des Vektors mit $r$ Multipliziert.
$r\cdot\vz xy = \vz{r\cdot x}{r\cdot y}$
Geometrisch wird der Vektor durch die Multiplikation mit $r$
  • gestreckt, wenn $|r|\gt1$
  • gestaucht, wenn $|r|\lt1$
  • ist $r\lt 0$ so kehrt sich die Richtung des Vektors um
Der Vektor behält seine Richtung bei einer Streckung und Stauchung bei.
Ein Vektor und sein Gegenvektor haben die gleiche Richtung.
Wenn zwei Vektoren die gleiche Richtung haben, sagt man dass sie linear abhängig sind.
Mathematisch ausgedrückt: Gibt es ein $r\in\mathbb{R}$, so dass $r\cdot \vec v = \vec w$, dann sind $\vec v$ und $\vec w$ linear abhängig.
Vektor (2 3) und derselbe mit 0,5 multipliziert und mit -1 multipliziert
Der Vektor $\vz23$ (blau), $(-1)\cdot \vz23$ (rot) und $0{,}5\cdot \vz23$ (gelb)
Beispiele:
  1. Was ergibt $10\cdot \vz21$? Lösung: $\vz{20}{10}$
  2. Der Vektor $\vec w$ zeigt von $A(1\mid 1)$ zu $B(2\mid 4)$.
    Welcher Punkt liegt in der Mitte zwischen $A$ und $B$?
    Lösung:
    $\vec w = \overrightarrow{AB} = \vz13$.
    Die Mitte liegt auf halbem Weg von $A$ nach $B$ ist also $\frac12\cdot \vec w$ von $A$ entfernt.
    Somit ist die Mitte bei: $\overrightarrow{OA}+\frac12\vec w = \vz{1}1+\frac12\vz13 = \vz{1{,}5}{2{,}5}$
  3. Mit welchem Faktor muss man $\vec v$ multiplizieren, damit man den Gegenvektor erhält?
    Lösung: Mit -1.
  4. Ist $\vec v =\vz48$ und $\vec w =\vz{-2}{-4}$ linear abhängig?
    Lösung: Ja denn $(-\frac12)\cdot \vec v = \vec w$.
  5. Ist $\vec v =\vz48$ und $\vec w =\vz11$ linear abhängig?
    Lösung: Nein, denn das Verhältnis der ersten Komponente ist $\frac41=4$ und das der zweiten ist $\frac81=8$.
    Weder $4\vz11 = \vz44$ noch $8\vz11=\vz88$ ist der gleiche Vektor wie $\vec v$.

Addition

Verschiebt man Punkt $A$ zuerst um $\vec v$ und danach zusätzlich um $\vec w$, so entspricht die gesamte Verschiebung der Addition $\vec v+\vec w$.
Diese Gesamtverschiebung erhält man indem man die Vektoren komponentenweise addiert.
$\vz{x_1}{y_1} + \vz{x_2}{y_2} = \vz{x_1+x_2}{y_1+y_2}$
Geometrisch ist die Addition zweier Vektoren eine aneinandergereihte Verschiebung, wie sie im Schaubild dargestellt ist.
Verschiebt man Punkt $A$ nacheinander um $\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3$ und $\vec v_4$, so endet man am gleichen Punkt, wie wenn man $A$ um $\vec w = \vec v_1+ \vec v_2+ \vec v_3+ \vec v_4$ verschiebt.
Vektor v und Vektor w werden addiert
$\vec v$ und $\vec w$ ergeben zusammen die Verschiebung $\vec v+ \vec w$