Ein Vektor mit Länge 1 ist normiert, d.h. bei normierten Vektoren gilt $|\vec v|=1$.
Um den normierten Vektor $\vec v_n$ zu einem gegebenen Vektor zu berechnen multipliziert man ihn mit
$\frac1{|\vec v|}$:
$\vec v_n = \frac1{|\vec v|}\cdot \vec v$
Beweis:
Hat der Vektor $\vec v$ die Länge $l$, dann hat der Vektor $\vec w = r\cdot \vec v$
die Länge $r\cdot l$.
Denn:
$\begin{array}{lcl} \left|r\cdot \vz{x_1}{x_2}\right| &=& \left|\vz{r\cdot x_1}{r\cdot x_2}\right| \\ &=&\sqrt{(r\cdot x_1)^2+(r\cdot x_2)^2}\\ &=&\sqrt{r^2\cdot x_1^2+r^2\cdot x_2^2}\\ &=&\sqrt{r^2\cdot( x_1^2+ x_2^2)}\\ &=&r\cdot\sqrt{ x_1^2+ x_2^2}\\ &=&r\cdot\left| \vz{x_1}{x_2}\right| \end{array}$
Denn:
$\begin{array}{lcl} \left|r\cdot \vz{x_1}{x_2}\right| &=& \left|\vz{r\cdot x_1}{r\cdot x_2}\right| \\ &=&\sqrt{(r\cdot x_1)^2+(r\cdot x_2)^2}\\ &=&\sqrt{r^2\cdot x_1^2+r^2\cdot x_2^2}\\ &=&\sqrt{r^2\cdot( x_1^2+ x_2^2)}\\ &=&r\cdot\sqrt{ x_1^2+ x_2^2}\\ &=&r\cdot\left| \vz{x_1}{x_2}\right| \end{array}$
Wählt man nun $r=\frac1{|\vec v|}$ so ist die Länge
$\left| \frac1{|\vec v|}\vec v \right|
= \frac1{|\vec v|}\cdot \left| \vec v \right|
= \frac{\left| \vec v \right|}{|\vec v|}
= 1
$
