Um die Ableitung einer Funktion $f$ zu berechnen, kann man einen Term aufstellen, der die
Steigung einer Tangente an $f$ berechnet.
Ein Weg dies zu tun ist, dass man sich ein Steigungsdreieck an der Funktion vorstellt und
diese immer kleiner werden lässt, bis $\Delta x$ Null wird.
Um das besser handhaben zu können wählt man 2 Punkte auf der Funktion
$P_1(x_1\mid y_1)$ und $P_2(x_2\mid y_2)$.
Die Steigung der Geraden durch diese zwei Punkte ist $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
Lässt man $x_2$ immer näher an $x_1$ wandern, so nähert sich die Sekante der Tangenten an.
Wenn $x_1=x_2$ wird hat die Steigung jedoch 0 im Nenner und wir erhalten keinen Wert.
Hier ist Rechentechnik gefragt.
Sekante durch $(1\mid 1)$ und $(2\mid 4)$
Den Bruch (oder Quotienten) $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ nennt man Differenzen-Quotient.
Den Grenzwert von $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ für $\Delta x\rightarrow 0$ nennt man Differential-Quotient.
Den Differential-Quotient ist also der Grenzwert von $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, für $x_2\rightarrow x_1$.
Denn wenn $x_2$ zu $x_1$ wird ist auch hier der Nenner 0.
Der Differential-Quotient kann neben
$\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$, für $x_2\rightarrow x_1$.
auch in folgender Form dargestellt werden:
$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, für $h\rightarrow 0$.
hier wurde mit $x_2=x_1+h$ substituiert.
Manchmal ist es einfacher mit der einen Form und manchmal mit der anderen Form den Grenzwert zu bestimmen.
Differentialquotient von waagerechten Geraden
Eine Gerade der Form $f(x)=b$ ist waagerecht und hat immer die Steigung 0. somit ist die Ableitung $f'(x)=0$.
Hier kennen wir also die Funktion und ihre Ableitung. Jetzt testen wir, ob wir mit dem Differential-Quotient
das gleiche Ergebnis bekommen:
Zwei Punkte auf $f$: $P_1(x_1\mid b)$ und $P_2(x_2\mid b)$
Differenzen-Quotient: $\dfrac{b-b}{x_2-x_1}$
Da der Differenzen-Quotient vereinfacht $\dfrac{0}{x_2-x_1}$ also $0$ ergibt, ist auch der
Grenzwert für $x_2 \rightarrow x_1$ immer $0$.
Somit ist $f'(x)$ tatsächlich 0.
Differentialquotient von Geraden
Eine Gerade der Form $f(x)=mx+b$ hat die Steigung $m$. somit ist die Ableitung $f'(x)=m$.
Hier ist die Steigung (und somit die Ableitung) bekannt.
Mittels des Differential-Quotient als Grenzwert des Differenzen-Quotient erhalten wir:
Zwei Punkte auf $f$: $P_1(x_1\mid mx_1+b)$ und $P_2(x_2\mid mx_2+b)$
Differenzen-Quotient: $\dfrac{mx_2+b-(mx_1+b)}{x_2-x_1}$
Formen wir ein wenig um:
$\dfrac{mx_2+b-(mx_1+b)}{x_2-x_1}$
$=\dfrac{mx_2+b-mx_1-b}{x_2-x_1}$
$=\dfrac{mx_2-mx_1}{x_2-x_1}$
$=\dfrac{m(x_2-x_1)}{x_2-x_1}
=m
$
Da der vereinfachte Differenzen-Quotient $m$ ergibt, ist auch der
Grenzwert für $x_2 \rightarrow x_1$ immer $m$.
Somit ist $f'(x)=m$ für $f(x)=mx+b$.
Differentialquotient von $f(x)=x^2$
Wenn wir die Ableitung von $f(x)=x^2$ bestimmen, nehmen wir uns zwei (beliebige) Punkte auf $f$:
$P_1(x_1\mid x_1^2)$ und $P_1(x_1\mid x_1^2)$.
Für $x_2 \rightarrow x_1$ wird aus $x_2+x_1$ einfach $2x_1$.
Somit ist für jedes $x_1$ die Steigung von $x^2$ gleich $2x_1$ oder:
Die Ableitung von $f(x)=x^2$ ist $f'(x)=2x$
Oder mit dem Differentialquotient mit $h$:
$\begin{array}{ccl}
&\frac{f(x+h)-f(x)}{h} & \\
&\frac{(x+h)^2-x^2}{h} & | \text{ ausmultiplizieren}\\
&\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} & | \text{ zusammenfassen}\\
&\frac{2hx+h^2}{h} & | h\text{ ausklammern}\\
&\frac{h(2x+h)}{h} & | h\text{ kürzen}\\
&2x+h & \\
\end{array}$
Für $h\rightarrow 0$ wird $2x+h$ zu $2x$.
Somit ist auch hier die Ableitung von $f(x)=x^2$ die Funktion $f'(x)=2x$.
