Änderungsrate

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion gibt an, um wie viel sich der Funktionswert $f(x)$ durchschnittlich auf einem Intervall für $x$ ändert.

Das heißt, wenn man die durchschnittliche Änderungsrate für $0\leq x \leq 4$ der Funktion im Schaubild bestimmen will, sieht man, dass der $y$-Wert sich um +3 (4-1) ändert. Der $x$-Wert ändert sich um +4 (4-0).

Somit ändert sich der $y$-Wert in diesem Intervall durchschnittlich mit $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3}{4} = 0{,}75$.

Allgemein: Die durchschnittliche Änderungsrate auf dem Intervall $[x_1;\ x_2]$ der Funktion $f(x)$ ist $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.
Somit ist die durchschnittliche Änderungsrate die Steigung der Geraden durch $(x_1\mid f(x_1))$ und $(x_2\mid f(x_2))$.

Schaubild einer Funktion durch 0/1 und 4/4 mit Pfeil von 0/1 nach 4/4 — Veranschaulichung der durchschnittlichen
Steigung für $0\leq x \leq 4$

Beispiel: Gesucht ist die durchschnittliche Änderungsrate von $f(x)=-\frac{1}{6}x^3+x^2-\frac{5}{6}x$ im Intervall

$x\in[0;\ 4]$
Lösung:
Das Intervall ist $4LE$ breit und $y$ beginnt bei $f(0)= 0$ und endet bei $f(4)=2$.
Somit ist die durchschnittliche Änderung: $\dfrac{2-0}{4}=\dfrac12$
Die Steigung $m=0{,}5$ bringt uns von $P(0\mid 0)$ nach $Q(4\mid 2)$.
$x\in[1;\ 2]$
Lösung:
$y$ läuft von $f(1)=0$ bis $f(2)=1$ und das Intervall ist $2-1 = 1LE$ breit.
Durchschnittliche Änderungsrate: $\dfrac{1}{1}=1$
$x\in[2;\ 4]$
Lösung:
$m=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} =\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2} =\dfrac{2-1}{2} =\dfrac{1}{2}$

Schaubild einer Funktion — Graph von $f(x)=-\frac{1}{6}x^3+x^2-\frac{5}{6}x$
mit 3 "Steigungsdreiecken"

Graphisches Bestimmen

Will man die Änderungsrate am Schaubild bestimmen, zeichnet man eine Gerade durch den Startpunkt $P(x_1\mid f(x_1))$ und den Endpunkt $Q(x_2\mid f(x_2))$.
Die Steigung dieser Geraden entspricht der mittleren Änderungsrate.

Interpretation der durchschnittliche Änderungsrate

Die durchschnittliche Änderungsrate gibt den groben Verlauf des Schaubilds über einen festen $x$-Bereich an.
Dies ist eine hilfreiche Kenngröße für die Tendenz des Funktionsverlaufs, z.B. bei

Aktienkursen: Will man wissen, ob eine Aktie steigt und wie stark, so nimmt man den Aktienkurs zum Start- und Endzeitpunkt (z.B. 100 und 120) des Beobachtungszeitraums (z.B. 5 Tage) und erhält eine durchschnittliche Änderung von $\frac{120-100}{5}=4$.
Somit stieg die Aktie mit 4€ pro Tag in diesem Zeitraum.
Man sieht also den Aufwärtstrend und wird nicht von kurzzeitigen Schwankungen abgelenkt.
Wachstum: Ein Kind ist am Jahresanfang 100cm groß und am Jahresende 123cm.
Es ist also im mittel $\frac{123-100}{52}=0{,}442$ cm pro Woche gewachsen.
Abkühlung: Ein Stück Metall kühlt in 60 Minuten von 200°C auf 50°C ab.
Es ist also im Schnitt um $\frac{50-200}{60}=-2{,}5^\circ C$ pro Minute abgekühlt.
Ausnüchterung: Paul hat 0,7 Promille Blutalkohol um 20 Uhr abends. Um 23 Uhr hat er 0,31 Promille.
Im mittel hat Paul also $\frac{0{,}31-0{,}7}{23-20}=-0{,}13$ Promille pro Stunde abgebaut.
Besser er hätte weniger getrunken.

Durchschnittliche Änderungsrate

Graphisches Bestimmen

Interpretation der durchschnittliche Änderungsrate