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Herleitung der Ableitungsregel für $f(x)=g(x)+h(x)$
Diese Regel besagt, dass wir bei einer Summe von Termen jeden Term einzeln ableiten können.
Die Summe der abgeleiteten Terme ist dann die Ableitung von $f(x)$.
Somit zerfällt eine Funktion in ihre Summanden, die kleiner sind und daher einfacher abzuleiten.
Der Beweis erfolgt über den Differential-Quotient:
$f'(x)= \lim\limits_{x_2\rightarrow x_1 }\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
Und weil wir es nachher brauchen:
$g'(x)= \lim\limits_{x_2\rightarrow x_1 }\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1}$
und
$h'(x)= \lim\limits_{x_2\rightarrow x_1 }\dfrac{h(x_2)-h(x_1)}{x_2-x_1}$
$ \begin{array}{rll}
& \lim\limits_{x_2\rightarrow x_1 }\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} & |\ a \text{ Funktionsterm einsetzen} \\
=& \lim\limits_{x_2\rightarrow x_1 }\dfrac{g(x_2)+h(x_2) - (g(x_1)+h(x_1)) }{x_2-x_1} & \\
=& \lim\limits_{x_2\rightarrow x_1 }\dfrac{g(x_2)+h(x_2) - g(x_1)-h(x_1) }{x_2-x_1} & |\text{ umsortieren} \\
=& \lim\limits_{x_2\rightarrow x_1 }\dfrac{g(x_2)-g(x_1) +h(x_2)-h(x_1) }{x_2-x_1} & \\
=& \lim\limits_{x_2\rightarrow x_1 }\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1}
+
\lim\limits_{x_2\rightarrow x_1 }\dfrac{h(x_2)-h(x_1) }{x_2-x_1} & | \text{ siehe oben}\\
=& g'(x)+h'(x)
\end{array}$
Somit ist die Ableitung von $f(x)=g(x)+h(x)$ die Funktion $f'(x)= g'(x)+h'(x)$
Mehr als zwei Summanden
Hat man eine Funktion wie z.B. $f(x)=x^3+4x^2+5x+3$ so kann man diese Regel mehrfach anwenden:
$ \begin{array}{rll}
f'(x)= & (x^3+4x^2+5x+3)' & |\text{ klammern um 2 Summanden zu erhalten} \\
= & ((x^3)+(4x^2+5x+3))' & |\text{ Summenregel anwenden} \\
= & (x^3)'+(4x^2+5x+3)' & |\text{ klammern} \\
= & (x^3)'+((4x^2)+(5x+3))' & |\text{ Summenregel} \\
= & (x^3)'+(4x^2)'+(5x+3)' & |\text{ nochmal} \\
= & (x^3)'+(4x^2)'+((5x)+(3))' & \\
= & (x^3)'+(4x^2)'+(5x)'+(3)' & \\
\end{array}$
Indem wir die Summe immer so klammern, dass wir nur zwei Summanden haben, können wir die Regel
wiederholt anwenden.
Allgemein kann man also folgende Summenregel verwenden:
Ist $f(x)=g_1(x)+g_2(x)+g_3(x)+\dots$
So ist $f'(x)=g_1'(x)+g_2'(x)+g_3'(x)+\dots$
Summenregel für Differenzen
Die Summenregel gilt auch für Differenzen:
Ist $f(x)=g(x)-h(x)$ dann ist $f'(x)=g'(x)-h'(x)$, denn
$f(x)=g(x)-h(x)=g(x)+(-h(x))$
da dies eine Summe ist gilt:
$f'(x)=g'(x)+(-h(x))' = g'(x)+(-h'(x)) = g'(x)-h'(x)$
Dass $(-h(x))'=-h'(x)$ ist kommt von der Regel für $c\cdot f(x)$ denn
$-h(x)=-1\cdot h(x)$.