Diese Regel besagt, dass konstante Vorfaktoren (also eine Zahl mit Mal davor) bleiben.
Somit muss man nur die beliebige Funktion $g(x)$ ableiten. Dies vereinfacht das ableiten,
denn bei z.B. $7\cdot x^2$ bleibt die 7 stehen und man muss nur $x^2$ ableiten
(hier ist $a\cdot g(x)= 7\cdot x^2$ also ist $a=7$ und $g(x)=x^2$).
Der Beweis erfolgt über den Differential-Quotient:
Differential-Quotient: $\lim\limits_{x_2\rightarrow x_1 }\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
Nach dem Einsetzen der Funktion erhalten wir:
$ \begin{array}{rll}
& \lim\limits_{x_2\rightarrow x_1 }\dfrac{a\cdot g(x_2)-a\cdot g(x_1)}{x_2-x_1} & |\ a \text{ ausklammern} \\
=&\lim\limits_{x_2\rightarrow x_1 }\dfrac{a\cdot \left(g(x_2)-g(x_1)\right)}{x_2-x_1} &|\ a\text{ vor den } \lim \\
=&a\left(\lim\limits_{x_2\rightarrow x_1 }\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1}\right) &|
\lim\limits_{x_2\rightarrow x_1 }\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1} = g'(x)
\\
=& a\cdot g'(x)\\
\end{array}$
Somit ist die Ableitung von $f(x)=a\cdot g(x)$ die Funktion $f'(x)=a\cdot g'(x)$