Manchmal stößt man in der Mathematik auf Gleichungen, die man nicht durch Umformen lösen kann.
Da Aufgeben aber keine Option ist, brauchen wir eine Alternative und diese heißt annähern.
Nehmen wir an, dass wir die Nullstellen der Funktion
$f(x)=\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x-1$
unbedingt wissen wollen.
Die Gleichung $0=\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x-1$ können wir allerdings mit Schulwissen nicht lösen.
Im Schaubild sehen wir, dass es sehr wohl Lösungen der Gleichung gibt.
Hier sind die Nullstellen nicht gut ablesbar.
Aber $0=\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x-1$
ist auch nicht (einfach) lösbar.
Intervallschachtelung
Haben wir eine Gleichung, dann können wir alles auf eine Seite bringen und
erhalten eine Gleichung der Form $0=\ldots$.
Diese Gleichung kann man als Nullstellen der Funktion $f(x)=\ldots$ sehen.
Jetzt berechnen wir eine Wertetabelle für diese Funktion (z.B. mit dem WTR oder dem Computer).
Wenn zwischen zwei $x$-Werten das Vorzeichen von $f(x)$ wechselt ist hier eine Nullstelle verborgen.
Die $x$-Werte geben den Bereich an, in dem wir suchen müssen.
Da ein $f$-Wert über und einer unter der $x$-Achse liegt muss die Funktion dazwischen ja bei der
$x$-Achse vorbeikommen (außer wir hätten hier eine Polstelle mit senkrechter Asymptote).
Beispiel: Gesucht sind die $x$-Werte, die $0=\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x-1$ lösen.
Vorgehen
Die Gleichung ist bereits in der Form $0=\ldots$
Wertetabelle von $f(x)=\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x-1$ (also der rechten Seite der Gleichung)
$\begin{array}{l||r|r|r|r|r|r|r|r|r|}
\hline
x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline
f(x) & -17 & -4 & 1 & 1 & -1 & -2 & 1 & 11 & 31\\\hline
\end{array}$
Zwischen $x=-3$ und $x=-2$ wechselt das Vorzeichen (von -4 auf 1).
Zwischen $x=-1$ und $x=\phantom{-}0$ wechselt das Vorzeichen (von 1 auf -1).
Zwischen $x=\phantom-1$ und $x=\phantom-2$ wechselt das Vorzeichen (von -2 auf 1).
Das heißt wir haben drei mögliche Lösungen.
Jetzt gehen wir jedes Intervall durch und teilen es in der Mitte.
Wir suchen in der Hälfte weiter, in der ein Vorzeichenwechsel ist.
Beginnen wir mit $x\in[-3;\;-2]$
Der Vorzeichenwechsel ist jetzt zwischen $x=-2{,}34375$ und $x=-2{,}3125$.
Das heißt, wir haben $x$ auf eine Nachkommastelle genau mit $x\approx -2{,}3$.
Für genauere Lösungen müssen wir nur weitermachen.
Schnellere Annäherung
Nutzen wir die Wertetabelle des WTR, so können wir das Intervall ohne Mehraufwand schneller unterteilen.
Vorgehen um die Nullstelle im Bereich $-1\lt x \lt 0$ anzunähern.
Wir erstellen eine Wertetabelle für $f(x)=\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x-1$.
Als Start nehmen wir -1
Als Ende nehmen wir 0
Als Schrittweite 0,1
In der Wertetabelle im WTR suchen wir den Vorzeichenwechsel in der Spalte $f(x)$.
Dieser ist zwischen $x=-0{,}5$ und $x=-0{,}4$
Mit der Taste AC kann man im WTR die Grenzen ändern ohne die Funktion neu eingeben zu müssen.
Als Start nehmen wir jetzt -0,5
Als Ende nehmen wir jetzt -0{,}4
Als Schrittweite 0,01
Der Vorzeichenwechsel ist zwischen $x=-0{,}48$ und $x=-0{,}47$
Wir ändern die Grenzen auf: Start = $-0{,}48$ und Ende $-0{,}47$ und setzen die Schrittweite auf 0,001.
Der Vorzeichenwechsel ist zwischen $x=-0{,}471$ und $x=-0{,}47$
Wir ändern die Grenzen auf: Start = $-0{,}471$ und Ende $-0{,}47$ und setzen die Schrittweite auf 0,0001.
Der Vorzeichenwechsel ist zwischen $x=-0{,}4707$ und $x=-0{,}4706$
Das heißt wir haben $x$ auf 3 Nachkommastellen genau mit $x\approx -0{,}470$.
