Mengen

Eine Mengen ist eine Sammlung von Elementen.
In der Mathematik sind es oft Zahlenmengen, d.h. die Elemente sind Zahlen.

Will man sagen, dass $x$ aus einer bestimmten Menge ist, so schreibt man:
$x\in M$ (sprich: $x$ ist Element von $M$).
Ist $x$ nicht in einer Menge so schreibt man $x\notin M$.

Es gibt verschiedene Arten, die Menge von Zahlen darzustellen

• vordefinierte Zahlensymbole:
  • $\N$ für natürliche Zahlen ($0, 1, 2, \ldots$)
  • $\Z$ für ganze Zahlen ($\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$)
  • $\Q$ für rationale Zahlen (alle Brüche)
  • $\R$ für reelle Zahlen ("alle Zahlen")
  • $\R^*$ reelle Zahlen ohne Null, geht auch mit $\N^*$, $\Z^*$und $\Q^*$
  • $\R_-$ sind nur die negativen Zahlen (mit 0)
  • $\R_+$ sind nur die negativen Zahlen (mit 0)
• Intervalle: Sie sind ein Teil von $\R$ und werden in eckigen Klammern angegeben:
  • $[a;b]$ alle Zahlen zwischen $a$ und $b$ wobei $a$ und $b$ dazugehören.
    So ist $x \in [-2;3]$ gleichbedeutend mit $-2\leq x \leq 3$.
  • $]a;b]$ alle Zahlen zwischen $a$ und $b$, ohne $a$ aber mit $b$. $x\in]-2;3]$ bedeutet $-2\lt x \leq 3$
  • $[a;b[$ alle Zahlen zwischen $a$ und $b$, mit $a$ aber ohne $b$. $x\in[-2;3[$ bedeutet $-2 \leq x \lt 3$
  • $]a;b[$ alle Zahlen zwischen $a$ und $b$, ohne $a$ und ohne $b$. $x\in]-2;3[$ bedeutet $-2\lt x \lt 3$
• Selbst definierte Mengen: Sie werden in geschweiften Klammern geschrieben. Entweder zählt man hier die Elemente auf, oder man beschreibt die Elemente, indem man mit einem Strich das Element von seiner Beschreibung trennt.
  Bsp.:

  1. $\{ 1; 2; 4 \}$ enthält die 1, 2 und 4
  2. $\{ 2; 4; 6; \dots\}$ sind alle geraden Zahlen
  3. $\{x\mid x\in \N \text{ x ist gerade}\}$ sind auch alle geraden Zahlen
  4. $\{2\cdot x\mid x\in \N \}$ sind auch alle geraden Zahlen
• Mengen verknüpfen Man kann Mengen vereinigen (mit $M=A\cup B$ in $M$ sind alle Elemente aus $A$ und $B$ enthalten), schneiden ($M=A\cap B$ in $M$ sind alle Elemente die sowohl in $A$, als auch $B$ sind) und man kann aus einer Menge Elemente ausschließen (mit $M= A\setminus B$ in $M$ sind alle Elemente die in $A$ sind aber nicht in $B$).
  Bsp.:

  1. $ \Z_+\cup\Z_- = \Z$
  2. $[2; 6{,}5]\cap \N = \{2; 3; 4; 5; 6\}$
  3. $\R^* = \R\setminus\{0\}$