| Beschreibung | 2D | 3D |
|---|---|---|
| Ein Punkt ist ein Ort im Raum | $P=(x\mid y)$ | $P=(x_1\mid x_2\mid x_3)$ |
| Ursprung | $P=(0\mid 0)$ | $P=(0\mid 0\mid 0)$ |
| Ein Vektor ist eine Verschiebung: | $\vec v=\begin{pmatrix}dx\\ dy\end{pmatrix}$ | $\vec v=\begin{pmatrix}dx_1\\ dx_2\\ dx_3\end{pmatrix}$ |
| Der Ortsvektor von $P$ ist der Vektor der vom Ursprung zu $P$ zeigt. |
Punkt $P=(2\mid -3)$ Ortsvektor $\vec v = \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ |
Punkt $P=(1\mid 2\mid 3)$ Ortsvektor $\vec v = \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ |
| Nullvektor (keine Verschiebung) | $\vec o = \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}$ | $\vec o = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ |
| Vektor von $A$ nach $B$ | $\vec v = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\end{pmatrix}$ | $\vec v = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\end{pmatrix}$ |
| Länge eines Vektors (Betrag) | $\left|\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$ | $\left|\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ |
| Addition von Vektoren: | $\begin{pmatrix} ax\\ ay \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} bx\\ by \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+bx\\ ay+by \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} ax\\ ay \\ az \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} bx\\ by\\bz \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+bx\\ ay+by \\ az+bz \end{pmatrix}$ |
| Subtraktion von Vektoren: | $\begin{pmatrix} ax\\ ay \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} bx\\ by \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax-bx\\ ay-by \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} ax\\ ay \\az \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} bx\\ by \\ bz\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax-bx\\ ay-by \\az-bz \end{pmatrix}$ |
| Strecken/stauchen von Vektoren: | $k\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k\cdot x\\ k\cdot y \end{pmatrix}$ | $k\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k\cdot x_1\\ k\cdot x_2\\ k\cdot x_3 \end{pmatrix}$ |
| Normierter Vektor (mit Länge 1): | $\vec v_n = \dfrac{1}{|\vec v|}\vec v$ | |
| Skalarprodukt: | $\vec v\cdot \vec w = \begin{pmatrix} v_x\\v_y \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} w_x\\w_y \end{pmatrix}=v_x\cdot w_x+v_y\cdot w_y$ | $\vec v\cdot \vec w = \begin{pmatrix} v_x\\v_y \\ v_z \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} w_x\\w_y \\ w_z \end{pmatrix} =v_x\cdot w_x+v_y\cdot w_y + v_z \cdot w_z$ |
| Winkel zwischen Vektoren: | $\cos{\alpha}= \dfrac{\vec v\cdot \vec w}{|\vec v|\cdot |\vec w|}$ | |